Zadanie 6, matura rozszerzona czerwiec 2016

2 pkt

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

określony dla

n \geq 1

, w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

12

. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Zakoduj kolejno pierwsze trzy cyfry po przecinku otrzymanego wyniku.

9, 2, 3

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje tylko wtedy, gdy $∣ q ∣ < 1$ . Iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, więc warunek dotyczy $a_{1}$ .
$q = a_{1} ∣ a_{1} ∣ < 1$
2
Wstawiamy $q = a_{1}$ i $S = 12$ do wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego i wyznaczamy $a_{1}$ .
$S = \frac{a _{1}}{1 - q} 12 = \frac{a _{1}}{1 - a _{1}} / \cdot (1 - a_{1}) 12 - 12 a_{1} = a_{1} 12 = 13 a_{1} / : 13 a_{1} = \frac{12}{13}$
3
Wynik spełnia warunek $∣ a_{1} ∣ < 1$ . Zamieniamy ułamek na rozwinięcie dziesiętne, z którego odczytujemy trzy pierwsze cyfry po przecinku.
$a_{1} = \frac{12}{13} = 0, 923076 \dots$

Podobne zadania z działu ciągi