Zadanie 14.2 - Matura podstawowa 2022 (wrzesień) - Rozwiązanie

1 pkt

Dany jest ciąg

(a_{n})

określony wzorem

a_{n} = \frac{7 ^{n}}{21}

dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.	P	F
Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $20$ .	P	F

Poprawna odpowiedź

Sprawdzamy, czy ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny, obliczając jego iloraz:
$q = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{7 ^{n + 1}}{21} : \frac{7 ^{n}}{21} = \frac{7 ^{n + 1}}{7 ^{n}} = 7$
Iloraz jest stały, więc ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny: pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe. Obliczamy sumę trzech początkowych wyrazów ciągu:
$S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} + \frac{49}{3} = \frac{57}{3} = 19$
Suma trzech początkowych wyrazów wynosi $19$ , a nie $20$ : drugie stwierdzenie jest fałszywe.

Podobne zadania z działu ciągi