Zadanie 6 - Matura rozszerzona 2020 (lipiec) - Rozwiązanie

3 pkt

Pierwszy wyraz ciągu

(a_{n})

, określonego dla

n \geq 1

, jest równy

2

. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek

a_{n} = 3 \cdot a_{n + 1} + n^{2}

. Oblicz sumę

a_{1} + a_{2} + a_{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{10}{9}

Podstawiamy $n = 1$ do warunku $a_{n} = 3 \cdot a_{n + 1} + n^{2}$ , aby wyznaczyć drugi wyraz ciągu:
$a_{1} = 3 a_{2} + 1^{2} 2 = 3 a_{2} + 1 a_{2} = \frac{1}{3}$
Podstawiamy $n = 2$ , aby wyznaczyć trzeci wyraz ciągu:
$a_{2} = 3 a_{3} + 2^{2} \frac{1}{3} = 3 a_{3} + 4 a_{3} = - \frac{11}{9}$
Obliczamy szukaną sumę:
$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 2 + \frac{1}{3} - \frac{11}{9} = \frac{10}{9}$

Podobne zadania z działu ciągi