Ciąg geometryczny (aₙ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek a₃ · a₆ = 18. Iloczyn a₂ · a₇ jest równy

Zadanie 15 - Matura podstawowa 2026 (maj, F. 2015) - Rozwiązanie

1 pkt

Ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

.
Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek

a_{3} \cdot a_{6} = 18

.

Iloczyn

a_{2} \cdot a_{7}

jest równy

Poprawna odpowiedź

18

Zapisujemy wyrazy $a_{3}$ , $a_{6}$ , $a_{2}$ i $a_{7}$ za pomocą pierwszego wyrazu $a_{1}$ i ilorazu $q$ .
$a_{3} = a_{1} q^{2} a_{6} = a_{1} q^{5} a_{2} = a_{1} q a_{7} = a_{1} q^{6}$
Mnożymy $a_{3}$ przez $a_{6}$ oraz $a_{2}$ przez $a_{7}$ — w obu iloczynach suma wykładników przy $q$ jest taka sama (bo $3 + 6 = 2 + 7 = 9$ ), więc oba iloczyny są sobie równe.
$a_{3} \cdot a_{6} = a_{1}^{2} q^{7} a_{2} \cdot a_{7} = a_{1}^{2} q^{7}$
Skoro oba iloczyny to to samo wyrażenie, to $a_{2} \cdot a_{7}$ jest równe $a_{3} \cdot a_{6}$ .
$a_{2} \cdot a_{7} = a_{3} \cdot a_{6} = 18$