Nieskończony ciąg geometryczny (aₙ) jest określony w następujący sposób: a₁ = 3/5 oraz aₙ₊₁ = 2/3 · aₙ dla n geqslant 1. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2019

1 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony w następujący sposób:

a_{1} = \frac{3}{5}

oraz

a_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot a_{n}

dla

n ⩾ 1

. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{9}{5}

Z zależności $a_{n + 1} = \frac{2}{3} \cdot a_{n}$ odczytujemy iloraz ciągu: $q = \frac{2}{3}$ . Ponieważ $∣ q ∣ < 1$ , suma wszystkich wyrazów istnieje.
Liczymy sumę ze wzoru $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ .
$S = \frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{5} \cdot 3 = \frac{9}{5}$
Poprawna jest odpowiedź D.