Zadanie 7, matura rozszerzona czerwiec 2024

4 pkt

Nieskończony ciąg geometryczny

(a_{n})

jest określony dla każdej liczby naturalnej

n \geq 1

. Suma wszystkich wyrazów ciągu

(a_{n})

o numerach nieparzystych jest równa

16

, tj.

a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots = 16

Ponadto

a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2} \cdot a_{2}

.

Wyznacz wzór ogólny na

n

-ty wyraz ciągu

(a_{n})

. Zapisz obliczenia.

a_{n} = 12 \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Niech $q$ oznacza iloraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ . Wtedy $a_{2} = a_{1} q$ oraz $a_{3} = a_{1} q^{2}$ . Podstawiając do warunku $a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2} a_{2}$ , otrzymujemy równanie z niewiadomymi $a_{1}$ i $q$ :
$a_{1} + a_{1} q^{2} = \frac{5}{2} a_{1} q$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu ciągi