Jak liczyć kąt między krawędzią a podstawą bryły?

Geometria przestrzenna

Stereometria: graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe. Pola powierzchni, objętości oraz kąty i przekroje, które trzeba najpierw zobaczyć w przestrzeni, a policzyć na płaskim trójkącie.

Ten dział to średnio 1,8 zadania i 3,4 pkt na arkuszu.

Zadanie 13 Geometria przestrzenna

1 pkt

Adam zbudował dwa prostopadłościany. Pierwszy prostopadłościan ma wymiary

5

6

10

. Drugi prostopadłościan ma wymiary

6

6

10

.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Objętość pierwszego prostopadłościanu jest równa A/B.

Różnica objętości tych prostopadłościanów jest równa C/D.

Zaznacz dwie odpowiedzi.

A, C

1
Obliczamy objętość pierwszego prostopadłościanu o krawędziach $5$ , $6$ i $10$ .
$V = a \cdot b \cdot c V_{1} = 5 \cdot 6 \cdot 10 = 300$
2
Tak samo liczymy objętość drugiego prostopadłościanu.
$V_{2} = 6 \cdot 6 \cdot 10 = 360$
3
Od większej objętości odejmujemy mniejszą.
$V_{2} - V_{1} = 360 - 300 = 60$

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Objętość i pole powierzchni graniastosłupa oraz ostrosłupa
Walec, stożek i kula
Kąt między krawędzią a płaszczyzną podstawy
Kąt dwuścienny i przekroje brył
Odcinki w bryle wyznaczane z twierdzenia Pitagorasa

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Stereometria

Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
Prosta $k$ przebija płaszczyznę w punkcie $P$ pod kątem ostrym. Prosta $l$ jest rzutem prostokątnym prostej $k$ na tę płaszczyznę. Prosta $m$ leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt $P$ . Wówczas prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ jest prostopadła do prostej $l$ .

Przyjmujemy oznaczenia:
$P_{c}$ – pole powierzchni całkowitej $V$ – objętość
$P_{b}$ – pole powierzchni bocznej $P_{p}$ – pole podstawy

Prostopadłościan

P_{c} = 2 (ab + b c + c a)

V = ab c

gdzie $a, b, c$ są długościami krawędzi prostopadłościanu.

Graniastosłup prosty

P_{b} = O_{b} \cdot h

V = P_{p} \cdot h

gdzie $O_{b}$ jest obwodem podstawy graniastosłupa,
natomiast $h$ – wysokością graniastosłupa.

Ostrosłup

V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot h

gdzie $h$ jest wysokością ostrosłupa.

Walec

P_{b} = 2 π r h

P_{c} = 2 π r (r + h)

V = π r^{2} h

gdzie $h$ jest wysokością walca, $O$ – środkiem symetrii podstawy walca,
$r$ – promieniem podstawy walca.

Stożek

P_{b} = π r l

P_{c} = π r (r + l)

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

gdzie $r$ jest promieniem podstawy stożka, $h$ – jego wysokością, natomiast $l$ – tworzącą stożka. Punkt $O$ jest środkiem symetrii podstawy stożka.

Kula

P_{c} = 4 π r^{2}

V = \frac{4}{3} π r^{3}

gdzie $r$ jest promieniem kuli, natomiast $O$ – środkiem symetrii kuli.

Najczęstsze pytania

Trzeba znaleźć rzut krawędzi na płaszczyznę podstawy i rozpatrzyć trójkąt prostokątny zbudowany z krawędzi, jej rzutu i wysokości bryły. Kąt liczy się już zwykłą trygonometrią w tym trójkącie.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu geometria przestrzenna.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Stereometria

Najczęstsze pytania