Zadanie 23, matura podstawowa czerwiec 2019

1 pkt

Dany jest sześcian

A B C D E F G H

. Przekątne

A C

B D

ściany

A B C D

sześcianu przecinają się w punkcie

P

(zobacz rysunek).
Tangens kąta, jaki odcinek

P H

tworzy z płaszczyzną

A B C D

, jest równy

Poprawna odpowiedź

2

Niech $a$ oznacza długość krawędzi sześcianu. Odcinek $D H$ jest prostopadły do płaszczyzny $A B C D$ , więc kątem między $P H$ a tą płaszczyzną jest kąt $H P D$ w trójkącie prostokątnym $H D P$ .
Odcinek $D P$ to połowa przekątnej kwadratu o boku $a$ , a $D H = a$ .
$D P = \frac{a 2}{2}, D H = a$
Obliczamy tangens kąta $H P D$ .
$tg ∠ H P D = \frac{D H}{D P} = \frac{a}{\frac{a 2}{2}} = \frac{2}{2} = 2$

Podobne zadania z działu geometria przestrzenna