Zadanie 25, matura podstawowa czerwiec 2020 (F. 2005)

1 pkt

Dany jest stożek o objętości

18 π

, którego przekrojem osiowym jest trójkąt

A B C

(zobacz rysunek). Kąt

C B A

jest kątem nachylenia tworzącej

l

tego stożka do płaszczyzny jego podstawy. Tangens kąta

C B A

jest równy

2

.

Wynika stąd, że wysokość

h

tego stożka jest równa

Poprawna odpowiedź

6

Niech $r$ będzie promieniem podstawy stożka. W trójkącie prostokątnym utworzonym przez wysokość $h$ , promień $r$ i tworzącą $l$ mamy:
$tan ∠ C B A = \frac{h}{r} = 2$
Stąd promień wyrażamy przez wysokość:
$r = \frac{h}{2}$
Wstawiamy do wzoru na objętość stożka i porównujemy z $18 π$ :
$\frac{1}{3} π r^{2} h = 18 π \frac{1}{3} π \cdot \frac{h ^{2}}{4} \cdot h = 18 π \frac{h ^{3}}{12} = 18 h^{3} = 216 h = 6$

Podobne zadania z działu geometria przestrzenna