Zadanie 26, matura podstawowa czerwiec 2026

1 pkt

Tworząca stożka o promieniu podstawy

3

ma długość

6

.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy.
Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $60°$ .

1
Liczymy pole powierzchni bocznej i pole podstawy stożka dla $r = 3$ i $l = 6$ , żeby je porównać.
$P_{b} = π r l = π \cdot 3 \cdot 6 = 18 π, P_{p} = π r^{2} = π \cdot 3^{2} = 9 π$
2
Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie: $18 π$ jest dwa razy większe od $9 π$ , więc stwierdzenie jest prawdziwe (P).
3
Kąt rozwarcia stożka to dwukrotność kąta $α$ między tworzącą a wysokością. W przekroju osiowym kąt $α$ leży naprzeciw promienia, więc liczymy sinus.
$sin α = \frac{r}{l} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ⟹ α = 30°$
4
Kąt rozwarcia stożka jest więc równy $2 α = 60°$ , czyli drugie stwierdzenie też jest prawdziwe (P). Odpowiedź: PP.

Podobne zadania z działu geometria przestrzenna