Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe… - Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 13.1, rozwiązanie

Zadanie 13.1 - Matura rozszerzona 2024 (czerwiec) - Rozwiązanie

2 pkt

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości

H

ostrosłupa oraz promienia

R

okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa

6

.

Wykaż, że objętość

V

każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości

R

promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

V (R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

V (R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})

Przyjmujemy oznaczenia: $A, B, C$ - wierzchołki podstawy ostrosłupa, $a$ - długość krawędzi podstawy, $R$ - promień okręgu opisanego na podstawie, $H$ - wysokość ostrosłupa. Podstawa $A B C$ jest trójkątem równobocznym, więc promień okręgu opisanego na niej wynosi $R = \frac{a 3}{3}$ , skąd $a = R 3$ .
Obliczamy pole $P_{p}$ podstawy ostrosłupa:
$P_{p} = \frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{( R 3 ) ^{2} 3}{4} = \frac{3 R ^{2} 3}{4}$
Ponieważ $H + R = 6$ , mamy $H = 6 - R$ . Obliczamy objętość $V$ ostrosłupa:
$V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 R ^{2} 3}{4} \cdot (6 - R) = \frac{3}{4} \cdot (6 R^{2} - R^{3})$

Zadanie 13.1 - Matura rozszerzona 2024 (czerwiec) - Rozwiązanie