Zadanie 4, matura rozszerzona czerwiec 2016

1 pkt

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wynika stąd, że cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy

\frac{3}{3}

1
Wprowadzamy oznaczenia:
- $a$ - długość każdej krawędzi
- $S$ - wierzchołek ostrosłupa, $O$ - środek podstawy
- $K$ - środek krawędzi podstawy
- $α$ - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy, czyli kąt $S K O$
2
Odcinek $S K$ jest wysokością ściany bocznej, która jest trójkątem równobocznym o boku $a$ . Odcinek $O K$ to połowa krawędzi podstawy.
$∣ S K ∣ = \frac{a 3}{2} ∣ O K ∣ = \frac{a}{2}$
3
Liczymy cosinus kąta $α$ w trójkącie prostokątnym $S O K$ , a potem usuwamy niewymierność z mianownika.
$cos α cos α = \frac{∣ O K ∣}{∣ S K ∣} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a 3}{2}} = \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3}{3}$

Podobne zadania z działu geometria przestrzenna

Wszystkie zadania z działu