Zadanie 22, matura podstawowa maj 2019 (F. 2005)

1 pkt

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

A B C D S

jest kwadrat

A B C D

. Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

Miara kąta

S A C

jest równa

Poprawna odpowiedź

45°

Niech $a$ będzie długością krawędzi podstawy. Ściany boczne są trójkątami równobocznymi, więc krawędzie boczne też mają długość $a$ . Zatem $S A = S C = a$ .
$A C$ to przekątna kwadratu o boku $a$ .
$A C = a 2$
W trójkącie $S A C$ sprawdzamy twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
$S A^{2} + S C^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2} = (a 2)^{2} = A C^{2}$
Trójkąt $S A C$ jest więc prostokątny i równoramienny, z kątem prostym przy wierzchołku $S$ . Kąty przy podstawie $A C$ mają po $45°$ , czyli $∣∠ S A C ∣ = 45°$ .

Podobne zadania z działu geometria przestrzenna