Ostrosłupy prawidłowe trójkątne O₁ i O₂ mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa O₁ jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa O₂. Stosunek objętości ostrosłupa O₁ do objętości ostrosłupa O₂ jest równy

Zadanie 25 - Matura podstawowa 2021 (marzec) - Rozwiązanie

1 pkt

Ostrosłupy prawidłowe trójkątne

O_{1}

O_{2}

mają takie same wysokości. Długość krawędzi podstawy ostrosłupa

O_{1}

jest trzy razy dłuższa od długości krawędzi podstawy ostrosłupa

O_{2}

. Stosunek objętości ostrosłupa

O_{1}

do objętości ostrosłupa

O_{2}

jest równy

Poprawna odpowiedź

9 : 1

Wprowadzamy oznaczenia:
- $a$ - długość krawędzi podstawy ostrosłupa $O_{2}$
- $3 a$ - długość krawędzi podstawy ostrosłupa $O_{1}$
- $h$ - wspólna wysokość obu ostrosłupów
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi $V = \frac{1}{3} P_{p} h$ , a pole podstawy $P_{p}$ trójkąta równobocznego jest proporcjonalne do kwadratu długości jego krawędzi. Przy takiej samej wysokości stosunek objętości jest więc równy kwadratowi stosunku krawędzi podstaw.
$\frac{V _{1}}{V _{2}} = (\frac{3 a}{a})^{2} \frac{V _{1}}{V _{2}} = 9$