Rozważamy wszystkie graniastosłupy… - Matura rozszerzona czerwiec 2025, zadanie 12.1, rozwiązanie

Zadanie 12.1 - Matura rozszerzona 2025 (czerwiec) - Rozwiązanie

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

Wykaż, że objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

H = \frac{48 3 - a ^{2} 3}{6 a}

, więc

V (a) = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

Oznaczmy przez $H$ wysokość rozważanego graniastosłupa. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego to suma pól dwóch podstaw (trójkątów równobocznych o boku $a$ ) i pola powierzchni bocznej (trzech prostokątów o bokach $a$ i $H$ ):
$243 = 2 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} + 3 a H$
Wyznaczamy z tego równania wysokość $H$ w zależności od $a$ :
$3 a H = 243 - \frac{a ^{2} 3}{2} H = \frac{24 3 - \frac{a ^{2} 3}{2}}{3 a} = \frac{48 3 - a ^{2} 3}{6 a}$
Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości. Podstawiamy wyznaczone $H$ :
$V (a) = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot \frac{48 3 - a ^{2} 3}{6 a}$
Upraszczamy wyrażenie, korzystając z $3 \cdot 3 = 3$ :
$V (a) = \frac{a ( 48 3 - a ^{2} 3 ) 3}{24} = \frac{a ( 144 - 3 a ^{2} )}{24} V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}$
To należało wykazać.

Zadanie 12.1 - Matura rozszerzona 2025 (czerwiec) - Rozwiązanie