Zadanie 12.1, matura rozszerzona czerwiec 2025

2 pkt

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym

243

.

Wykaż, że objętość

V

graniastosłupa w zależności od długości

a

krawędzi podstawy jest określona wzorem

V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

H = \frac{48 3 - a ^{2} 3}{6 a}

, więc

V (a) = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez $H$ . Pole powierzchni całkowitej to dwie podstawy, czyli trójkąty równoboczne o boku $a$ , i trzy prostokątne ściany boczne o bokach $a$ i $H$ .
$243 = 2 \cdot \frac{a ^{2} 3}{4} + 3 a H$
2
Wyznaczamy $H$ , przenosząc pole podstaw na drugą stronę i dzieląc przez $3 a$ .
$3 a H = 243 - \frac{a ^{2} 3}{2} H = \frac{24 3 - \frac{a ^{2} 3}{2}}{3 a} = \frac{48 3 - a ^{2} 3}{6 a}$
3
Objętość to pole podstawy razy wysokość, więc wstawiamy wyznaczone $H$ .
$V (a) = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot H = \frac{a ^{2} 3}{4} \cdot \frac{48 3 - a ^{2} 3}{6 a}$
4
Skracamy ułamek i rozbijamy go na dwa składniki.
$V (a) = \frac{a ( 48 3 - a ^{2} 3 ) 3}{24} = \frac{a ( 144 - 3 a ^{2} )}{24} V (a) = 6 a - \frac{1}{8} a^{3}$
5
Otrzymaliśmy wzór z treści zadania, co kończy dowód.

Podobne zadania z działu geometria przestrzenna