Równania

Q: Kiedy równanie kwadratowe nie ma rozwiązań?

Gdy wyróżnik jest ujemny. Wyróżnik dodatni daje dwa różne pierwiastki, wyróżnik równy zeru jeden pierwiastek podwójny, a ujemny oznacza brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Q: Dlaczego przy równaniu wymiernym trzeba wyznaczyć dziedzinę?

Bo mianownik nie może się zerować. Liczba, która zeruje mianownik, może wyjść z przekształceń jako pierwiastek, ale nie jest rozwiązaniem i trzeba ją odrzucić.

Równania liniowe, kwadratowe, wielomianowe i wymierne wraz z równaniami z parametrem. Znajdziesz tu zadania z arkuszy razem z pełnym zapisem rozwiązania, krok po kroku.

Ten dział to średnio 0,6 zadania i 3,2 pkt na arkuszu.

Zadanie 1 Równania

1 pkt

Parametr

m

dobrano tak, że każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania

(4 - m^{2}) \cdot x = m^{2} - 3 m + 2

z niewiadomą

x

. Wynika stąd, że

m = 2

1
Równanie $a \cdot x = b$ jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą $x$ tylko wtedy, gdy $a = 0$ oraz $b = 0$ . Zapisujemy oba warunki.
$⎩ ⎨ ⎧ 4 - m^{2} = 0 m^{2} - 3 m + 2 = 0$
2
Z pierwszego równania wyznaczamy $m$ .
$4 - m^{2} = 0 (2 - m) (2 + m) = 0 m = 2 lub m = - 2$
3
Drugie równanie rozwiązujemy deltą.
$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 m = \frac{3 - 1}{2} = 1 lub m = \frac{3 + 1}{2} = 2$
4
Oba warunki spełnia tylko $m = 2$ . Poprawna jest odpowiedź C.

Lista zadań

Matura rozszerzona maj 2021, zadanie 11Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian kwadratowy 4x² - 2(m+1)x + m ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁ oraz x₂,…

Otwórz w zbiorze zadań

Lekcje

Krótkie lekcje z przykładami i quizem na końcu. Zaloguj się aby zapisać i śledzić swój postęp.

Co trzeba umieć przed maturą

Rozwiązywanie równań liniowych i sprowadzanie do postaci $a x + b = 0$
Wyróżnik i wzory na pierwiastki równania kwadratowego
Równania wielomianowe rozwiązywane przez rozkład na czynniki
Równania wymierne i dziedzina przed rozwiązaniem
Równania z parametrem oraz warunki na liczbę rozwiązań

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Funkcja kwadratowa

Wyróżnikiem $Δ$ trójmianu kwadratowego $a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ , $b, c \in R$ ) zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy liczbę

Δ = b^{2} - 4 a c

Postać ogólna funkcji kwadratowej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ , $b, c \in R$ , $x \in R$ .

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (p, q) gdzie p = - \frac{b}{2 a}, q = - \frac{Δ}{4 a}

Gdy $a < 0$ , to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi. Gdy $a > 0$ , to ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego $a x^{2} + b x + c = 0$ ) zależy od wyróżnika $Δ$ :

1. jeżeli $Δ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):

x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}

2. jeżeli $Δ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste):

x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}

3. jeżeli $Δ < 0$ , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

f (x) = a (x - p)^{2} + q

Jeżeli $Δ \geq 0$ , to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej:

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Wzory Viète'a. Jeżeli $Δ \geq 0$ , to

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ mamy:

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a^{n - k} b^{k - 1} + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})

W szczególności:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

a^{3} - 1 = (a - 1) (a^{2} + a + 1)

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

a^{3} + 1 = (a + 1) (a^{2} - a + 1)

a^{n} - 1 = (a - 1) (a^{n - 1} + a^{n - 2} + \dots + a + 1)

Najczęstsze pytania

Gdy wyróżnik jest ujemny. Wyróżnik dodatni daje dwa różne pierwiastki, wyróżnik równy zeru jeden pierwiastek podwójny, a ujemny oznacza brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Bo mianownik nie może się zerować. Liczba, która zeruje mianownik, może wyjść z przekształceń jako pierwiastek, ale nie jest rozwiązaniem i trzeba ją odrzucić.

Warto przeczytać

Dlaczego delta? Skąd to się bierze?

Delta nie jest magicznym wzorem do zapamiętania. To jedna liczba, która mówi, ile razy parabola przecina oś liczbową, i wychodzi sama, gdy próbujemy szukać rozwiązań równania kwadratowego.

3 min czytania

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu równania.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Lista zadań

Lekcje

Lekcje

Lekcje

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Funkcja kwadratowa

Wzory skróconego mnożenia

Najczęstsze pytania

Warto przeczytać

Dlaczego delta? Skąd to się bierze?