Dział

Równania

Q: Kiedy równanie kwadratowe nie ma rozwiązań?

Gdy wyróżnik jest ujemny. Wyróżnik dodatni daje dwa różne pierwiastki, wyróżnik równy zeru jeden pierwiastek podwójny, a ujemny oznacza brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Q: Dlaczego przy równaniu wymiernym trzeba wyznaczyć dziedzinę?

Bo mianownik nie może się zerować. Liczba, która zeruje mianownik, może wyjść z przekształceń jako pierwiastek, ale nie jest rozwiązaniem i trzeba ją odrzucić.

Równania liniowe, kwadratowe, wielomianowe i wymierne wraz z równaniami z parametrem. Znajdziesz tu zadania z arkuszy razem z pełnym zapisem rozwiązania, krok po kroku.

Występowanie na egzaminach

Wszystkie arkusze5 matur13 z 177 zadań

Udział zadań z tego działu w arkuszach majowych.

Nauka

Krótkie lekcje z przykładami i quizem na końcu. Zaloguj się aby zapisać i śledzić swój postęp.

Równania liniowe: jak je rozwiązywać krok po krokuRównanie liniowe rozwiązuje się jednym schematem: uporządkuj obie strony, zbierz niewiadome po lewej, liczby po prawej i podziel przez współczynnik. W tej lekcji sprawdzisz, dlaczego wolno tak robić i kiedy schemat kończy się inaczej.
Równania kwadratowe: delta, wzory i postać iloczynowaDelta mówi, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe, a wzory na pierwiastki podają je wprost. W tej lekcji zobaczysz, kiedy liczyć deltę, a kiedy szybciej jest rozłożyć równanie na czynniki.
Równania wielomianowe: grupowanie i rozkład na czynnikiRównania stopnia trzeciego z arkuszy maturalnych prawie zawsze rozwiązuje się tym samym sposobem: grupujesz wyrazy, wyłączasz wspólny nawias i przyrównujesz każdy czynnik do zera.

Sprawdzian z całego działu

8 zadań z arkuszy, sugerowany czas 45 minut. Sprawdzian wymaga konta, bo zapisujemy wynik do historii.

, aby rozwiązać sprawdzian.

Ostatnio na egzaminie

Zobacz wszystkie zadania

Co trzeba umieć przed maturą

Rozwiązywanie równań liniowych i sprowadzanie do postaci $a x + b = 0$
Wyróżnik i wzory na pierwiastki równania kwadratowego
Równania wielomianowe rozwiązywane przez rozkład na czynniki
Równania wymierne i dziedzina przed rozwiązaniem
Równania z parametrem oraz warunki na liczbę rozwiązań

Wzory

Wzory z karty maturalnej dotyczące tego działu. Całą kartę otworzysz przyciskiem „Wzory” na górze strony.

Wyróżnikiem $Δ$ trójmianu kwadratowego $a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ , $b, c \in R$ ) zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy liczbę

Δ = b^{2} - 4 a c

Postać ogólna funkcji kwadratowej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ , $b, c \in R$ , $x \in R$ .

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (p, q) gdzie p = - \frac{b}{2 a}, q = - \frac{Δ}{4 a}

Gdy $a < 0$ , to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi. Gdy $a > 0$ , to ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego $a x^{2} + b x + c = 0$ ) zależy od wyróżnika $Δ$ :

1. jeżeli $Δ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):

x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}

2. jeżeli $Δ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste):

x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}

3. jeżeli $Δ < 0$ , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

f (x) = a (x - p)^{2} + q

Jeżeli $Δ \geq 0$ , to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej:

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Wzory Viète'a. Jeżeli $Δ \geq 0$ , to

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ mamy:

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a^{n - k} b^{k - 1} + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})

W szczególności:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

a^{3} - 1 = (a - 1) (a^{2} + a + 1)

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

a^{3} + 1 = (a + 1) (a^{2} - a + 1)

a^{n} - 1 = (a - 1) (a^{n - 1} + a^{n - 2} + \dots + a + 1)

Najczęstsze pytania

Gdy wyróżnik jest ujemny. Wyróżnik dodatni daje dwa różne pierwiastki, wyróżnik równy zeru jeden pierwiastek podwójny, a ujemny oznacza brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Bo mianownik nie może się zerować. Liczba, która zeruje mianownik, może wyjść z przekształceń jako pierwiastek, ale nie jest rozwiązaniem i trzeba ją odrzucić.

Warto przeczytać

27 lipca 2026Teoria

Dlaczego delta? Skąd bierze się wyróżnik równania kwadratowego

Delta nie jest magicznym wzorem do zapamiętania. To jedna liczba, która mówi, ile razy parabola przecina oś liczbową, i wychodzi sama, gdy próbujemy szukać rozwiązań równania kwadratowego.

3 min czytania

Poćwicz ten dział

Losuj zadanieWylosuj zadanie z działu równania i sprawdź odpowiedź od razu.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Równania

Występowanie na egzaminach

Nauka

Ostatnio na egzaminie

Ostatnio na egzaminie

Ostatnio na egzaminie

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Funkcja kwadratowa

Wzory skróconego mnożenia

Najczęstsze pytania

Warto przeczytać

Dlaczego delta? Skąd bierze się wyróżnik równania kwadratowego

Poćwicz ten dział