Równania: zadania z rozwiązaniami

Q: Kiedy równanie kwadratowe nie ma rozwiązań?

Gdy wyróżnik jest ujemny. Wyróżnik dodatni daje dwa różne pierwiastki, wyróżnik równy zeru jeden pierwiastek podwójny, a ujemny oznacza brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Q: Dlaczego przy równaniu wymiernym trzeba wyznaczyć dziedzinę?

Bo mianownik nie może się zerować. Liczba, która zeruje mianownik, może wyjść z przekształceń jako pierwiastek, ale nie jest rozwiązaniem i trzeba ją odrzucić.

Nauka

Krótkie lekcje z przykładami i quizem na końcu. Zaloguj się aby zapisać i śledzić swój postęp.

Równania liniowe: jak je rozwiązywać krok po krokuRównanie liniowe rozwiązuje się jednym schematem: uporządkuj obie strony, zbierz niewiadome po lewej, liczby po prawej i podziel przez współczynnik. W tej lekcji sprawdzisz, dlaczego wolno tak robić i kiedy schemat kończy się inaczej.
Równania kwadratowe: delta, wzory i postać iloczynowaDelta mówi, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe, a wzory na pierwiastki podają je wprost. W tej lekcji zobaczysz, kiedy liczyć deltę, a kiedy szybciej jest rozłożyć równanie na czynniki.
Równania wielomianowe: grupowanie i rozkład na czynnikiRównania stopnia trzeciego z arkuszy maturalnych prawie zawsze rozwiązuje się tym samym sposobem: grupujesz wyrazy, wyłączasz wspólny nawias i przyrównujesz każdy czynnik do zera.

Sprawdzian z całego działu

8 zadań z arkuszy, sugerowany czas 45 minut. Sprawdzian wymaga konta, bo zapisujemy wynik do historii.

, aby rozwiązać sprawdzian.

Najnowsze zadania z tego tematu na egzaminach CKE

Zobacz wszystkie zadania

Co trzeba umieć przed maturą

Rozwiązywanie równań liniowych i sprowadzanie do postaci $a x + b = 0$
Wyróżnik i wzory na pierwiastki równania kwadratowego
Równania wielomianowe rozwiązywane przez rozkład na czynniki
Równania wymierne i dziedzina przed rozwiązaniem
Równania z parametrem oraz warunki na liczbę rozwiązań

Wzory

Wzory z karty maturalnej dotyczące tego działu. Całą kartę otworzysz przyciskiem „Wzory” na górze strony.

Funkcja kwadratowa

Wyróżnikiem $Δ$ trójmianu kwadratowego $a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ , $b, c \in R$ ) zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy liczbę

Δ = b^{2} - 4 a c

Postać ogólna funkcji kwadratowej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ , $b, c \in R$ , $x \in R$ .

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (p, q) gdzie p = - \frac{b}{2 a}, q = - \frac{Δ}{4 a}

Gdy $a < 0$ , to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi. Gdy $a > 0$ , to ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego $a x^{2} + b x + c = 0$ ) zależy od wyróżnika $Δ$ :

1. jeżeli $Δ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):

x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}

2. jeżeli $Δ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste):

x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}

3. jeżeli $Δ < 0$ , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

f (x) = a (x - p)^{2} + q

Jeżeli $Δ \geq 0$ , to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej:

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Wzory Viète'a. Jeżeli $Δ \geq 0$ , to

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ mamy:

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \dots + a^{n - k} b^{k - 1} + \dots + a b^{n - 2} + b^{n - 1})

W szczególności:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

a^{2} - 1 = (a - 1) (a + 1)

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

a^{3} - 1 = (a - 1) (a^{2} + a + 1)

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

a^{3} + 1 = (a + 1) (a^{2} - a + 1)

a^{n} - 1 = (a - 1) (a^{n - 1} + a^{n - 2} + \dots + a + 1)

Najczęstsze pytania

Gdy wyróżnik jest ujemny. Wyróżnik dodatni daje dwa różne pierwiastki, wyróżnik równy zeru jeden pierwiastek podwójny, a ujemny oznacza brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Bo mianownik nie może się zerować. Liczba, która zeruje mianownik, może wyjść z przekształceń jako pierwiastek, ale nie jest rozwiązaniem i trzeba ją odrzucić.

Warto przeczytać

Dlaczego delta? Skąd to się bierze?

Delta nie jest magicznym wzorem do zapamiętania. To jedna liczba, która mówi, ile razy parabola przecina oś liczbową, i wychodzi sama, gdy próbujemy szukać rozwiązań równania kwadratowego.

3 min czytania

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu równania.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Nauka

Nauka

Nauka

Najnowsze zadania z tego tematu na egzaminach CKE

Najnowsze zadania z tego tematu na egzaminach CKE

Najnowsze zadania z tego tematu na egzaminach CKE

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Funkcja kwadratowa

Wzory skróconego mnożenia

Najczęstsze pytania

Warto przeczytać

Dlaczego delta? Skąd to się bierze?