W każdym n–kącie wypukłym (n ≥ 3) liczba przekątnych jest równa (n(n-3))/2. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 25 większa od liczby boków, jest

Zadanie 23, matura podstawowa maj 2021

1 pkt

W każdym

n

–kącie wypukłym (

n \geq 3

) liczba przekątnych jest równa

\frac{n ( n - 3 )}{2}

. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o

25

większa od liczby boków, jest

B. dziesięciokąt

1
Liczba przekątnych jest o $25$ większa od liczby boków $n$ , więc zapisujemy równanie:
$\frac{n ( n - 3 )}{2} = n + 25$
2
Mnożymy obie strony przez $2$ i porządkujemy:
$n (n - 3) = 2 n + 50 n^{2} - 3 n - 2 n - 50 = 0 n^{2} - 5 n - 50 = 0$
3
Rozwiązujemy równanie kwadratowe ( $Δ = 25 + 200 = 225$ , $Δ = 15$ ):
$n_{1} = \frac{5 - 15}{2} = - 5, n_{2} = \frac{5 + 15}{2} = 10$
4
Liczba boków wielokąta musi być dodatnia, więc odrzucamy $n_{1} = - 5$ . Zostaje $n = 10$ — dziesięciokąt.