Lekcja

Równania kwadratowe: delta, wzory i postać iloczynowa

Q: Czy deltę trzeba liczyć zawsze?

Nie. Gdy w równaniu brakuje wyrazu wolnego, wystarczy wyłączyć niewiadomą przed nawias, a gdy brakuje wyrazu liniowego, wystarczy spierwiastkować obie strony. Delta jest potrzebna dopiero wtedy, gdy występują wszystkie trzy wyrazy i nie widać rozkładu na czynniki.

Q: Co znaczy, że rozwiązanie jest podwójne?

Przy delcie równej zero oba wzory na pierwiastki dają tę samą liczbę, a postać iloczynowa wygląda tak: a razy kwadrat nawiasu. Mówimy wtedy o pierwiastku podwójnym, ale rozwiązanie równania jest jedno i tak trzeba je zapisać w odpowiedzi.

Q: Czy ujemna delta oznacza błąd w rachunkach?

Nie musi. Ujemna delta to poprawny wynik i znaczy tyle, że parabola nie przecina osi liczbowej, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Warto tylko sprawdzić znaki we wzorze, bo to najczęstsze miejsce na pomyłkę.

Delta mówi, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe, a wzory na pierwiastki podają je wprost. W tej lekcji zobaczysz, kiedy liczyć deltę, a kiedy szybciej jest rozłożyć równanie na czynniki.

Równanie kwadratowe to takie, w którym niewiadoma występuje w drugiej potędze i współczynnik przy tej potędze nie jest zerem. Po uporządkowaniu wszystkie takie równania mają jedną postać.

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

Postać ogólna równania kwadratowego.

Zastrzeżenie

a \neq = 0

nie jest formalnością. Gdy

a = 0

, kwadrat znika i zostaje równanie liniowe, które rozwiązuje się zupełnie inaczej. Na egzaminie to bywa całą treścią zadania: parametr przy

x^{2}

dobiera się tak, żeby równanie w ogóle było kwadratowe.

Delta, czyli ile rozwiązań

Zanim policzymy rozwiązania, warto wiedzieć, ile ich jest. Odpowiada za to jedna liczba, wyróżnik, oznaczany grecką literą delta.

Δ = b^{2} - 4 a c

Wyróżnik równania kwadratowego.

$Δ > 0$ : dwa różne rozwiązania rzeczywiste,
$Δ = 0$ : dokładnie jedno rozwiązanie (podwójne),
$Δ < 0$ : brak rozwiązań rzeczywistych.

a = 1b = 0c = −4

Δ = 16, dwa miejsca zerowe: x = -2 oraz x = 2.

Delta dodatnia: parabola przecina oś OX w dwóch punktach.

Poruszaj suwakami i patrz na znak delty. Przesuwanie parametru c w górę w pewnym momencie odrywa parabolę od osi i rozwiązania znikają.

Geometrycznie delta mówi, ile razy parabola

y = a x^{2} + b x + c

przecina oś

O X

: dwa razy, raz (dotyka wierzchołkiem) albo wcale. Skąd bierze się ten wzór, rozkładamy na czynniki pierwsze w artykule Dlaczego delta.

Wzory na pierwiastki

Gdy

Δ > 0

, rozwiązania podają dwa wzory, które różnią się tylko znakiem przed pierwiastkiem.

x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}, x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}

Pierwiastki równania kwadratowego przy dodatniej delcie.

Gdy

Δ = 0

, oba wzory dają tę samą liczbę, więc zapisujemy je jednym.

x_{0} = \frac{- b}{2 a}

Jedyne rozwiązanie przy delcie równej zero.

Policzmy

2 x^{2} - 7 x + 3 = 0

. Odczytujemy

a = 2

b = - 7

c = 3

, więc

Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25

Δ = 5

x_{1} x_{2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2} = \frac{7 + 5}{4} = 3

Uwaga na znak: w liczniku stoi minus b, czyli tutaj plus 7.

Kiedy delta jest stratą czasu

Dwa rodzaje równań kwadratowych rozwiązuje się szybciej bez wzorów. Pierwszy to równania bez wyrazu wolnego, w których wystarczy wyłączyć

x

przed nawias.

3 x^{2} - 12 x = 0 ⟺ 3 x (x - 4) = 0 ⟺ x = 0 lub x = 4

Brak wyrazu wolnego: wyłączamy x przed nawias.

Drugi to równania bez wyrazu liniowego, gdzie po przeniesieniu liczby na drugą stronę zostaje sam kwadrat.

2 x^{2} - 18 = 0 ⟺ x^{2} = 9 ⟺ x = - 3 lub x = 3

Brak wyrazu liniowego: pierwiastkujemy obie strony, pamiętając o dwóch znakach.

Uwaga na

x^{2} = 9

: rozwiązania są dwa, bo

(- 3)^{2}

też daje

9

. Zapisanie samego

x = 3

to najczęstszy błąd w tym typie zadania.

Postać iloczynowa: iloczyn jest zerem

Jeśli równanie jest już zapisane jako iloczyn równy zeru, delta jest niepotrzebna. Iloczyn liczb jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się przynajmniej jeden czynnik, więc każdy czynnik rozpatrujemy osobno.

a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0

Postać iloczynowa równania kwadratowego o pierwiastkach x1 i x2.

Czynnik, który nigdy nie jest zerem, po prostu nie daje rozwiązań. Na przykład

x^{2} + 25

jest zawsze dodatnie, więc w równaniu poniżej odpowiadają tylko pozostałe czynniki.

Zanim odsłonisz rozwiązanie: policz, ile czynników w tym iloczynie w ogóle może być zerem.

Zadanie 7

1 pkt

Równanie

2 x (x + 3) (x^{2} + 25) = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

(- 3)

oraz

0

1
Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero, więc przyrównujemy do zera każdy czynnik.
$2 x = 0 \lor x + 3 = 0 \lor x^{2} + 25 = 0$
2
Dwa pierwsze równania dają po jednym rozwiązaniu.
$x = 0 x = - 3$
3
Trzeci czynnik $x^{2} + 25 = 0$ oznacza $x^{2} = - 25$ , a to nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.
4
Równanie ma więc dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste, $- 3$ oraz $0$ .

Najczęstsze błędy

Liczenie delty przed uporządkowaniem równania. Wzór działa dopiero dla postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , czyli z zerem po prawej stronie.
Zgubiony minus w liczniku. W liczniku jest $- b$ , więc dla $b = - 7$ wstawiamy $+ 7$ .
Pierwiastkowanie ujemnej delty. Gdy $Δ < 0$ , odpowiedź brzmi „brak rozwiązań rzeczywistych", a nie „ $Δ$ nie istnieje".
Skracanie obu stron przez $x$ . Dzieląc $3 x^{2} = 12 x$ przez $x$ , gubisz rozwiązanie $x = 0$ . Zamiast dzielić, przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz $x$ przed nawias.

Sprawdź się

1.
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ ?
2.
Dla równania $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ wyróżnik jest równy
3.
Zbiorem rozwiązań równania $x^{2} = 16$ jest
4.
Które równanie ma dokładnie te same rozwiązania co $(x - 2) (x + 5) = 0$ ?
5.
Ile rozwiązań ma równanie $3 x^{2} + 12 x = 0$ ?

Najczęstsze pytania

Nie. Gdy w równaniu brakuje wyrazu wolnego, wystarczy wyłączyć niewiadomą przed nawias, a gdy brakuje wyrazu liniowego, wystarczy spierwiastkować obie strony. Delta jest potrzebna dopiero wtedy, gdy występują wszystkie trzy wyrazy i nie widać rozkładu na czynniki.

Przy delcie równej zero oba wzory na pierwiastki dają tę samą liczbę, a postać iloczynowa wygląda tak: a razy kwadrat nawiasu. Mówimy wtedy o pierwiastku podwójnym, ale rozwiązanie równania jest jedno i tak trzeba je zapisać w odpowiedzi.

Nie musi. Ujemna delta to poprawny wynik i znaczy tyle, że parabola nie przecina osi liczbowej, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Warto tylko sprawdzić znaki we wzorze, bo to najczęstsze miejsce na pomyłkę.

Poćwicz na zadaniach z arkuszy CKE

Zbiór zadańWszystkie zadania z działu równania, z filtrami poziomu i trudności.Losuj zadanieSkocz od razu do losowego zadania CKE z działu równania.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z działu równania i rozwiąż go z pomiarem czasu.

Powiązane artykuły

Dlaczego delta? Skąd to się bierze?

Delta nie jest magicznym wzorem do zapamiętania. To jedna liczba, która mówi, ile razy parabola przecina oś liczbową, i wychodzi sama, gdy próbujemy szukać rozwiązań równania kwadratowego.

3 min czytania