Równania liniowe: jak je rozwiązywać krok po kroku
Matura podstawowa: lekcja 1 z 3 ·Egzamin ósmoklasisty: lekcja 1 z 1 ·5 min czytania
Równanie liniowe rozwiązuje się jednym schematem: uporządkuj obie strony, zbierz niewiadome po lewej, liczby po prawej i podziel przez współczynnik. W tej lekcji sprawdzisz, dlaczego wolno tak robić i kiedy schemat kończy się inaczej.
Równanie to zdanie z niewiadomą, które dla jednych liczb jest prawdziwe, a dla innych fałszywe. Równanie 2x+6=0 jest prawdziwe dokładnie dla x=−3 i dla żadnej innej liczby. Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie takie liczby.
Liniowe znaczy: niewiadoma występuje tylko w pierwszej potędze. Nie ma x2, nie ma x, nie ma x w mianowniku. Po uporządkowaniu każde takie równanie da się zapisać w jednej postaci.
ax+b=0
Postać ogólna równania liniowego z niewiadomą x.
Dlaczego wolno przenosić na drugą stronę
Cały algorytm stoi na jednej obserwacji: są przekształcenia, które nie zmieniają zbioru rozwiązań. Nazywamy je przekształceniami równoważnymi i wolno ich używać dowolnie wiele razy.
dodanie tej samej liczby (lub tego samego wyrażenia) do obu stron,
odjęcie tej samej liczby od obu stron,
pomnożenie obu stron przez liczbę różną od zera,
podzielenie obu stron przez liczbę różną od zera.
„Przeniesienie na drugą stronę ze zmianą znaku" nie jest osobną regułą, tylko skrótem dla odjęcia tego samego od obu stron. Poniżej ten sam krok raz zapisany długo, raz krótko.
3x+53x+5−53xx=11=11−5=6=2odejmujemy 5 od obu strondzielimy obie strony przez 3
Ten sam rachunek zapisany krok po kroku.
Zwróć uwagę na zastrzeżenie „przez liczbę różną od zera". Mnożenie obu stron przez zero robi z każdego równania prawdziwe 0=0 i gubi całą informację, dlatego jest zakazane.
Schemat rozwiązania
Pozbądź się ułamków i nawiasów: pomnóż obie strony przez wspólny mianownik, wymnóż nawiasy.
Zbierz wyrazy z niewiadomą po jednej stronie, a same liczby po drugiej.
Zredukuj wyrazy podobne, aż zostanie ax=b.
Podziel obie strony przez a, o ile a=0.
Sprawdź wynik, podstawiając go do pierwotnego równania.
Przykład z ułamkiem i nawiasem. Wspólny mianownik to 6, więc zaczynamy od pomnożenia obu stron przez 6.
2x−1+3x3(x−1)+2x3x−3+2x5xx=4=24=24=27=527
Mnożenie przez wspólny mianownik usuwa ułamki w jednym kroku.
Kiedy rozwiązań jest nieskończenie wiele albo nie ma ich wcale
Ostatni krok schematu zakłada, że a=0. Jeśli po redukcji niewiadoma zniknie z obu stron, zostaje sama liczbowa równość i to ona decyduje o odpowiedzi.
a=0: dokładnie jedno rozwiązanie, x=−ab,
a=0 i b=0: zostaje 0=0, czyli równość prawdziwa dla każdego x. Rozwiązaniem jest cały zbiór liczb rzeczywistych (równanie tożsamościowe),
a=0 i b=0: zostaje np. 0=5, czyli fałsz. Równanie jest sprzeczne, nie ma rozwiązań.
2x − 4 = 0. Dokładnie jedno rozwiązanie: x = 2.
Rozwiązanie równania to miejsce, w którym prosta przecina oś poziomą. Ustaw a na zero i zobacz, co się dzieje.
Popatrz na 2(x+3)=2x+6. Po wymnożeniu obie strony są identyczne, więc dostajemy 0=0: prawdziwe dla każdego x. A w 2(x+3)=2x+1 zostaje 6=1, co jest fałszem, więc rozwiązań nie ma. W obu wypadkach nie ma sensu pisać „x=0": zero rozwiązań to co innego niż rozwiązanie równe zero.
Od treści zadania do równania
Na egzaminie równanie liniowe najczęściej trzeba najpierw ułożyć. Schemat jest zawsze ten sam: nazwij niewiadomą jedną literą, wyraź przez nią pozostałe wielkości i zapisz zdanie z treści jako równość.
Spróbuj sam: oznacz przez x liczbę pomarańczy w jednym koszu, wtedy jabłek jest x+6. Wszystkich owoców w koszu jest 2x+6, a w dziesięciu koszach dziesięć razy tyle.
Równania
1 pkt
Do 10 pustych koszy włożono jabłka i pomarańcze, łącznie 400 sztuk tych owoców. W każdym koszu łączna liczba owoców jest taka sama oraz w każdym koszu liczba jabłek jest o 6 większa od liczby pomarańczy.
Ile sztuk jabłek jest łącznie w tych 10 koszach? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Poprawna odpowiedź
B. 230
Skoro w każdym z 10 koszy jest tyle samo owoców, a łącznie jest ich 400, to w jednym koszu jest:
T=10400=40
Niech p oznacza liczbę pomarańczy w jednym koszu. Wtedy liczba jabłek w tym koszu to p+6. Razem w jednym koszu jest 40 owoców, więc układamy równanie:
p+(p+6)=40
Rozwiązujemy równanie:
2p+6=402p=34p=17
Liczba jabłek w jednym koszu to p+6=17+6=23. Łącznie w 10 koszach jest:
23⋅10=230
Najczęstsze błędy
Mnożenie przez wspólny mianownik tylko części składników. Mnożysz CAŁE strony, więc każdy składnik po obu stronach.
Zgubiony znak przy wymnażaniu nawiasu z minusem: −(2x−5)=−2x+5, a nie −2x−5.
Dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą. Wolno dzielić tylko przez liczbę pewnie różną od zera.
Zapisanie sprzeczności jako x=0. Brak rozwiązań to pusty zbiór rozwiązań, a nie rozwiązanie zerowe.
Sprawdź się
4 pytania z tej lekcji. Do zaliczenia potrzeba 60% poprawnych odpowiedzi.
1.
Jakie jest rozwiązanie równania 5x−4=3x+8?
2.
Które przekształcenie NIE jest równoważne, czyli może zmienić zbiór rozwiązań?
3.
Ile rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych ma równanie 4(x−2)=4x+1?
4.
Po pomnożeniu obu stron równania 3x−4x−2=1 przez 12 otrzymamy
Możesz sprawdzić w każdej chwili. Pytania bez odpowiedzi liczą się jako błędne.
Najczęstsze pytania
Nie. Równanie liniowe ma dokładnie jedno rozwiązanie, nie ma go wcale albo spełnia je każda liczba rzeczywista. Dwa różne rozwiązania to sygnał, że równanie nie jest liniowe (na przykład zawiera kwadrat niewiadomej) albo że gdzieś wkradł się błąd rachunkowy.
Na egzaminie nikt tego nie wymaga, ale sprawdzenie kosztuje kilkanaście sekund i wyłapuje najczęstszy błąd, czyli zgubiony znak. Podstawiasz wynik do pierwotnego równania i porównujesz obie strony.
To już nie jest równanie liniowe, tylko wymierne. Trzeba zapisać założenia (mianownik różny od zera), pomnożyć obie strony przez mianownik i na końcu odrzucić te rozwiązania, które łamią założenia.