Równania wielomianowe: grupowanie i rozkład na czynniki
Matura podstawowa: lekcja 3 z 3 ·Matura rozszerzona: lekcja 2 z 2 ·4 min czytania
Równania stopnia trzeciego z arkuszy maturalnych prawie zawsze rozwiązuje się tym samym sposobem: grupujesz wyrazy, wyłączasz wspólny nawias i przyrównujesz każdy czynnik do zera.
Do równania stopnia trzeciego nie ma wzoru, którego uczono by w szkole. Zamiast tego korzystamy z jednej własności liczb: iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się przynajmniej jeden z czynników. Cała robota polega więc na doprowadzeniu równania do postaci iloczynu.
A⋅B=0⟺A=0 lub B=0
Własność, na której stoi cała metoda.
Metoda grupowania
Gdy równanie ma cztery wyrazy, prawie zawsze da się je pogrupować w pary tak, żeby po wyłączeniu wspólnego czynnika z każdej pary został ten sam nawias. Zobacz to na x3−2x2−3x+6=0.
x3−2x2−3x+6x2(x−2)−3(x−2)(x−2)(x2−3)=0=0=0
Z pierwszej pary wyłączamy x do kwadratu, z drugiej liczbę 3.
Zwróć uwagę na drugą parę: żeby w nawiasie wyszło (x−2), przed nawias wyszła liczba −3, a nie 3. To najczęstsze miejsce na pomyłkę w znaku. Teraz przyrównujemy oba czynniki do zera.
x−2=0 lub x2−3=0
Każdy czynnik osobno daje własne rozwiązania.
Pierwszy czynnik daje x=2, drugi x2=3, czyli x=−3 lub x=3. Razem trzy rozwiązania, co dla równania stopnia trzeciego jest maksimum.
Dokładnie to zadanie pojawiło się na maturze podstawowej w maju 2024. Spróbuj przejść całą drogę samodzielnie, zanim odsłonisz kroki.
Równania
3 pkt
Rozwiąż równanie
x3−2x2−3x+6=0
Zapisz obliczenia.
Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?
Poprawna odpowiedź
x=−3 lub x=3 lub x=2
🔒 Rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium
Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.
Uporządkuj wielomian malejąco względem potęg i przenieś wszystko na jedną stronę, żeby po prawej zostało zero.
Weź dwa pierwsze wyrazy i wyłącz przed nawias ich wspólny czynnik.
Z dwóch ostatnich wyłącz taki czynnik (razem ze znakiem), żeby w nawiasie został ten sam dwumian.
Wyłącz wspólny nawias przed cały wielomian.
Rozwiąż osobno każdy z otrzymanych czynników.
Jeśli nawiasy nie chcą wyjść takie same, spróbuj innego podziału na pary (pierwszy z trzecim, drugi z czwartym) albo zmień znak wyłączanego czynnika. Przy współczynnikach z arkuszy CKE jedna z tych prób działa.
Czynniki, które nie dają rozwiązań
Nie każdy czynnik wnosi rozwiązanie. Czynnik kwadratowy z ujemną deltą nie zeruje się dla żadnej liczby rzeczywistej, więc po prostu go pomijamy.
(x−1)(x2+4)=0⟺x=1
Drugi czynnik jest zawsze dodatni, więc rozwiązanie jest tylko jedno.
Dlatego po rozłożeniu na czynniki warto sprawdzić deltę każdego czynnika kwadratowego, zamiast zakładać, że równanie stopnia trzeciego ma trzy rozwiązania.
Najczęstsze błędy
Skracanie obu stron przez x albo przez nawias z niewiadomą. To gubi rozwiązania: zamiast dzielić, wyłączaj przed nawias.
Zły znak przy wyłączaniu z drugiej pary. Sprawdź, mnożąc nawias z powrotem.
Zatrzymanie się na rozkładzie. Rozkład na czynniki nie jest odpowiedzią, trzeba jeszcze przyrównać czynniki do zera i wypisać rozwiązania.
Pominięcie rozwiązania ujemnego z x2=k. Dla k>0 są zawsze dwa.
Sprawdź się
4 pytania z tej lekcji. Do zaliczenia potrzeba 60% poprawnych odpowiedzi.
1.
Jak wygląda rozkład wielomianu x3+4x2−9x−36 na czynniki?
2.
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie (x−5)(x2+1)=0?
3.
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania x(x−4)(x+7)=0 jest równy
4.
Dlaczego nie wolno rozwiązać równania 2x3=8x, dzieląc obie strony przez x?
Możesz sprawdzić w każdej chwili. Pytania bez odpowiedzi liczą się jako błędne.
Najczęstsze pytania
Nie każde, ale te z arkuszy matury podstawowej prawie zawsze tak. Dobór współczynników jest w nich celowy, więc jeśli grupowanie nie wychodzi, najpierw sprawdź porządek wyrazów i znaki, a dopiero potem szukaj innej metody.
Co najwyżej trzy, ale może mieć też dwa albo jedno. Liczba rozwiązań rzeczywistych zależy od tego, czy czynniki kwadratowe w rozkładzie mają nieujemną deltę.