Trygonometria

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego i kąta dowolnego, tożsamości trygonometryczne, twierdzenie sinusów i cosinusów oraz równania trygonometryczne.

Ten dział to średnio 1,2 zadania i 4,4 pkt na arkuszu.

Zadanie 4 Trygonometria

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = sin^{4} x + cos^{4} x

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.
Największa wartość funkcji

f

jest równa

1

1
Przekształcamy wzór funkcji, korzystając z jedynki trygonometrycznej i wzoru skróconego mnożenia.
$f (x) = sin^{4} x + cos^{4} x = (sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x$
2
Korzystamy ze wzoru $2 sin x cos x = sin 2 x$ , więc $2 sin^{2} x cos^{2} x = \frac{1}{2} sin^{2} 2 x$ .
$f (x) = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x$
3
Wyrażenie $sin^{2} 2 x$ przyjmuje wartości z przedziału $[0, 1]$ , więc $f$ osiąga największą wartość, gdy $sin^{2} 2 x = 0$ .
$f_{ma x} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 1$

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Definicje sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym
Wartości funkcji dla kątów 30, 45 i 60 stopni
Jedynka trygonometryczna i tożsamości
Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego oraz znaki w ćwiartkach
Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów
Równania trygonometryczne

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Trygonometria

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

sin α = \frac{a}{c}

cos α = \frac{b}{c}

tg α = \frac{a}{b}

Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta

sin α = \frac{y}{r}

cos α = \frac{x}{r}

tg α = \frac{y}{x}, o ile x \neq = 0

gdzie

r = ∣ O M ∣ = x^{2} + y^{2} > 0

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

tg α = \frac{sin α}{cos α} dla α \neq = \frac{1}{2} π + k π, k \in Z

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ} \ \frac{1}{6} π$	$4 5^{\circ} \ \frac{1}{4} π$	$6 0^{\circ} \ \frac{1}{3} π$	$9 0^{\circ} \ \frac{1}{2} π$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tg α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	nie istnieje

Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów. Dla dowolnych kątów $α$ oraz $β$ prawdziwe są równości:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Ponadto:

tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α \cdot tg β} gdy α, β, α + β \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z

tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α \cdot tg β} gdy α, β, α - β \neq = \frac{π}{2} + k π, k \in Z

Funkcje trygonometryczne podwojonego kąta

sin 2 α = 2 sin α cos α

cos 2 α = cos^{2} α - sin^{2} α

cos 2 α = 2 cos^{2} α - 1

cos 2 α = 1 - 2 sin^{2} α

tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - tg ^{2} α} o ile tg α istnieje i tg^{2} α \neq = 1

Wybrane wzory redukcyjne

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

cos (9 0^{\circ} - α) = sin α

sin (9 0^{\circ} + α) = cos α

cos (9 0^{\circ} + α) = - sin α

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α

cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α

tg (18 0^{\circ} - α) = - tg α

sin (18 0^{\circ} + α) = - sin α

cos (18 0^{\circ} + α) = - cos α

tg (18 0^{\circ} + α) = tg α

Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych

sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}

cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}

sin α - sin β = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}

cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}

sin α \cdot sin β = - \frac{1}{2} [cos (α + β) - cos (α - β)]

cos α \cdot cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)]

sin α \cdot cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)]

Okresowość funkcji trygonometrycznych. Dla każdego kąta $α$ i liczby całkowitej $k$ prawdziwe są związki:

sin (α + k \cdot 36 0^{\circ}) = sin α

cos (α + k \cdot 36 0^{\circ}) = cos α

Ponadto jeżeli $α \neq = 9 0^{\circ} + m \cdot 18 0^{\circ}$ (gdzie $m \in Z$ ), to:

tg (α + k \cdot 18 0^{\circ}) = tg α

Najczęstsze pytania

W trójkącie prostokątnym sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej, a cosinus to stosunek przyprostokątnej przy tym kącie do przeciwprostokątnej. Tangens to iloraz sinusa przez cosinus.

Nie. Sinus i cosinus kąta rzeczywistego przyjmują wartości od minus jeden do jeden, więc wynik spoza tego przedziału zawsze oznacza błąd rachunkowy.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu trygonometria.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Trygonometria

Najczęstsze pytania