Kąt α ∈ (0°, 180°) oraz wiadomo, że sinα · cosα = -3/8. Wartość wyrażenia (cosα - sinα)² + 2 jest równa

Zadanie 12, matura podstawowa czerwiec 2019

1 pkt

Kąt

α \in (0°, 180°)

oraz wiadomo, że

sin α \cdot cos α = - \frac{3}{8}

. Wartość wyrażenia

(cos α - sin α)^{2} + 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{15}{4}

Rozwijamy kwadrat różnicy i korzystamy z jedynki trygonometrycznej $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
$(cos α - sin α)^{2} = cos^{2} α - 2 sin α cos α + sin^{2} α (cos α - sin α)^{2} = 1 - 2 sin α cos α$
Podstawiamy daną wartość iloczynu $sin α cos α = - \frac{3}{8}$ i dodajemy $2$ .
$(cos α - sin α)^{2} + 2 = 1 - 2 \cdot (- \frac{3}{8}) + 2 = 1 + \frac{3}{4} + 2 = \frac{15}{4}$
Odpowiedź A.