Zadanie 17.2 - Matura podstawowa 2024 (grudzień) - Rozwiązanie

1 pkt

Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym

∣ A C ∣ = 15

∣ B C ∣ = 8

. Na przyprostokątnej

A B

leży taki punkt

D

, że

∣ B D ∣ = 6

(zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Tangens kąta ostrego

A D C

jest równy

Poprawna odpowiedź

15

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A B C$ obliczamy długość przyprostokątnej $A B$ :
$∣ A B ∣^{2} = ∣ B C ∣^{2} - ∣ A C ∣^{2} = 8^{2} - (15)^{2} = 64 - 15 = 49 ⟹ ∣ A B ∣ = 7$
Punkt $D$ leży na odcinku $A B$ , więc długość $A D$ obliczamy jako:
$∣ A D ∣ = ∣ A B ∣ - ∣ B D ∣ = 7 - 6 = 1$
Kąt przy wierzchołku $A$ w trójkącie $A D C$ jest prosty (to ten sam kąt, co kąt $B A C$ ), więc tangens kąta ostrego $A D C$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw ( $A C$ ) do przyprostokątnej przyległej ( $A D$ ):
$tan (∠ A D C) = \frac{∣ A C ∣}{∣ A D ∣} = \frac{15}{1} = 15$

Podobne zadania z działu trygonometria