Zadanie 14 - Matura podstawowa 2025 (maj, F. 2015) - Rozwiązanie

1 pkt

Informacja do zadań 14.–15.
Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

B C

jest przeciwprostokątną, punkt

D

jest środkiem przyprostokątnej

A B

oraz

∣ A B ∣ = 6

∣ C D ∣ = 5

. Oznaczmy kąt

A D C

przez

α

, natomiast kąt

A B C

– przez

β

(zobacz rysunek).

Tangens kąta

α

jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{4}{3}

Punkt $D$ jest środkiem $A B$ , więc $A D$ jest połową boku $A B$ .
$A D = \frac{∣ A B ∣}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Trójkąt $A B C$ ma kąt prosty przy wierzchołku $A$ (bo $B C$ jest przeciwprostokątną), więc kąt przy $A$ jest prosty także w trójkącie $A C D$ . Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość $A C$ .
$A C = C D^{2} - A D^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16 = 4$
Tangens kąta $α$ (przy wierzchołku $D$ ) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie.
$t g α = \frac{A C}{A D} = \frac{4}{3}$

Podobne zadania z działu trygonometria