Zadanie 15 - Matura podstawowa 2025 (maj, F. 2015) - Rozwiązanie

1 pkt

Informacja do zadań 14.–15.
Dany jest trójkąt prostokątny

A B C

, w którym bok

B C

jest przeciwprostokątną, punkt

D

jest środkiem przyprostokątnej

A B

oraz

∣ A B ∣ = 6

∣ C D ∣ = 5

. Oznaczmy kąt

A D C

przez

α

, natomiast kąt

A B C

– przez

β

(zobacz rysunek).

Sinus kąta

β

jest równy

Poprawna odpowiedź

\frac{2}{13}

Podobnie jak poprzednio, $D$ jest środkiem $A B$ , więc $A D = 3$ , a z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A C D$ obliczamy $A C$ .
$A C = C D^{2} - A D^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 4$
Obliczamy długość przeciwprostokątnej $B C$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $A B C$ .
$B C = A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 4^{2} = 52 = 213$
Sinus kąta $β$ (przy wierzchołku $B$ ) to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ( $A C$ ) do przeciwprostokątnej.
$sin β = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{2 13} = \frac{2}{13}$

Podobne zadania z działu trygonometria