Dane są dwa kąty o miarach α oraz β,… - Matura podstawowa grudzień 2023, zadanie 16.2, rozwiązanie

Zadanie 16.2 - Matura podstawowa 2023 (grudzień) - Rozwiązanie

1 pkt

Dane są dwa kąty o miarach

α

oraz

β

, spełniające warunki:

α \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

tg α = - \frac{2}{3}

oraz

β \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})

cos β = \frac{1}{10}

.

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze

α

oraz kąt o mierze

β

. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią

O x

, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych:

A

lub

B

, lub

C

, lub

D

, lub

E

, lub

F

.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Kąt

β

jest zaznaczony na rysunku

Poprawna odpowiedź

Ponieważ $cos β = \frac{1}{10} > 0$ i $β \in (0^{\circ}, 18 0^{\circ})$ , kąt $β$ jest ostry — jego ramię leży w I ćwiartce (dodatnia odcięta i dodatnia rzędna).
Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy $sin β$ (dodatni, bo kąt jest ostry):
$sin^{2} β sin β = 1 - cos^{2} β = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = \frac{3}{10}$
Obliczamy tangens:
$tg β = \frac{sin β}{cos β} = \frac{3}{10} \cdot 10 = 3$
Sprawdzamy punkty leżące w I ćwiartce:
$C = (3, 2) : tg D = (1, 3) : tg F = (3, 1) : tg = \frac{2}{3} = \frac{3}{1} = 3 = \frac{1}{3}$
Tylko punkt $D$ daje $tg β = 3$ , więc kąt $β$ jest zaznaczony na rysunku D.

Zadanie 16.2 - Matura podstawowa 2023 (grudzień) - Rozwiązanie