Zadanie 18 - Matura podstawowa 2022 (grudzień) - Rozwiązanie

1 pkt

Kąt

α

jest ostry oraz

\frac{1}{sin ^{2} α} + \frac{1}{cos ^{2} α} = \frac{64}{9}

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia

sin α \cdot cos α

jest równa

Poprawna odpowiedź

\frac{3}{8}

Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika, korzystając z jedynki trygonometrycznej $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ :
$\frac{1}{sin ^{2} α} + \frac{1}{cos ^{2} α} = \frac{cos ^{2} α + sin ^{2} α}{sin ^{2} α cos ^{2} α} = \frac{1}{sin ^{2} α cos ^{2} α}$
Porównujemy z danym równaniem:
$\frac{1}{sin ^{2} α cos ^{2} α} = \frac{64}{9} sin^{2} α cos^{2} α = \frac{9}{64}$
Kąt $α$ jest ostry, więc $sin α > 0$ i $cos α > 0$ , zatem pierwiastkujemy obie strony bez zmiany znaku:
$sin α \cdot cos α = \frac{9}{64} = \frac{3}{8}$

Podobne zadania z działu trygonometria