Funkcja f jest określona wzorem f(x) = sin⁴ x + cos⁴ x dla każdej liczby rzeczywistej x. Największa wartość funkcji f jest równa

Zadanie 4 - Matura rozszerzona 2026 (czerwiec, F. 2015) - Rozwiązanie

1 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = sin^{4} x + cos^{4} x

dla każdej liczby rzeczywistej

x

.
Największa wartość funkcji

f

jest równa

Poprawna odpowiedź

1

Przekształcamy wzór funkcji, korzystając z jedynki trygonometrycznej i wzoru skróconego mnożenia.
$f (x) = sin^{4} x + cos^{4} x = (sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x$
Korzystamy ze wzoru $2 sin x cos x = sin 2 x$ , więc $2 sin^{2} x cos^{2} x = \frac{1}{2} sin^{2} 2 x$ .
$f (x) = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x$
Wyrażenie $sin^{2} 2 x$ przyjmuje wartości z przedziału $[0, 1]$ , więc $f$ osiąga największą wartość, gdy $sin^{2} 2 x = 0$ .
$f_{ma x} = 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 1$