Funkcja kwadratowa

Q: Która postać trójmianu do czego służy?

Z postaci ogólnej najłatwiej policzyć wyróżnik, postać kanoniczna od razu pokazuje wierzchołek i wartość ekstremalną, a postać iloczynowa podaje miejsca zerowe. Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy wyróżnik nie jest ujemny.

Q: Gdzie funkcja kwadratowa przyjmuje wartość największą?

W przedziale domkniętym wartości skrajne są w wierzchołku albo na końcach przedziału. Jeśli ramiona paraboli są skierowane w górę, wierzchołek daje wartość najmniejszą, a wartość największą jeden z końców przedziału.

Trójmian kwadratowy w trzech postaciach: ogólnej, kanonicznej i iloczynowej. Wierzchołek paraboli, wyróżnik oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.

Ten dział to średnio 0,4 zadania i 2,2 pkt na arkuszu.

Zadanie 6 Funkcja kwadratowa

2 pkt

Funkcja kwadratowa

f (x) = - x^{2} + b x + c

ma dwa miejsca zerowe:

x_{1} = - 1

x_{2} = 12

. Oblicz największą wartość tej funkcji. Zakoduj kolejno, od lewej do prawej, cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

2, 2, 5

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Znamy miejsca zerowe i współczynnik przy $x^{2}$ , więc zapisujemy funkcję w postaci iloczynowej.
$f (x) = - (x + 1) (x - 12)$
2
Ramiona paraboli idą w dół ( $a = - 1 < 0$ ), więc największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w środku między miejscami zerowymi.
$x_{w} = \frac{- 1 + 12}{2} = \frac{11}{2}$
3
Liczymy wartość funkcji w wierzchołku.
$f (\frac{11}{2}) = - (\frac{11}{2} + 1) (\frac{11}{2} - 12) = - \frac{13}{2} \cdot (- \frac{13}{2}) = \frac{169}{4} = 42, 25$
4
Cyfra jedności to $2$ , a pierwsze dwie cyfry po przecinku to $2$ i $5$ . Kod: $2$ , $2$ , $5$ .

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa oraz przechodzenie między nimi
Współrzędne wierzchołka paraboli
Wyróżnik i liczba miejsc zerowych
Wartość najmniejsza i największa w przedziale domkniętym
Wzory Viete’a
Zadania optymalizacyjne prowadzące do trójmianu

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Funkcja kwadratowa

Wyróżnikiem $Δ$ trójmianu kwadratowego $a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq = 0$ , $b, c \in R$ ) zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy liczbę

Δ = b^{2} - 4 a c

Postać ogólna funkcji kwadratowej: $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ , $b, c \in R$ , $x \in R$ .

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie

W = (p, q) gdzie p = - \frac{b}{2 a}, q = - \frac{Δ}{4 a}

Gdy $a < 0$ , to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi. Gdy $a > 0$ , to ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego $a x^{2} + b x + c = 0$ ) zależy od wyróżnika $Δ$ :

1. jeżeli $Δ > 0$ , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):

x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}

2. jeżeli $Δ = 0$ , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste):

x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}

3. jeżeli $Δ < 0$ , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

f (x) = a (x - p)^{2} + q

Jeżeli $Δ \geq 0$ , to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej:

f (x) = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Wzory Viète'a. Jeżeli $Δ \geq 0$ , to

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Najczęstsze pytania

Z postaci ogólnej najłatwiej policzyć wyróżnik, postać kanoniczna od razu pokazuje wierzchołek i wartość ekstremalną, a postać iloczynowa podaje miejsca zerowe. Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy wyróżnik nie jest ujemny.

W przedziale domkniętym wartości skrajne są w wierzchołku albo na końcach przedziału. Jeśli ramiona paraboli są skierowane w górę, wierzchołek daje wartość najmniejszą, a wartość największą jeden z końców przedziału.

Warto przeczytać

Dlaczego delta? Skąd to się bierze?

Delta nie jest magicznym wzorem do zapamiętania. To jedna liczba, która mówi, ile razy parabola przecina oś liczbową, i wychodzi sama, gdy próbujemy szukać rozwiązań równania kwadratowego.

3 min czytania

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu funkcja kwadratowa.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Funkcja kwadratowa

Najczęstsze pytania

Warto przeczytać

Dlaczego delta? Skąd to się bierze?