Funkcja kwadratowa

Wyróżnikiem $\Delta$ trójmianu kwadratowego $a{x}^2+bx+c$ ($a\ne 0$, $b,c\in \mathbb{R}$) zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy liczbę

Postać ogólna funkcji kwadratowej: $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $a\ne 0$, $b,c\in \mathbb{R}$, $x\in \mathbb{R}$.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie

Gdy $a<0$, to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi. Gdy $a>0$, to ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f(x)=a{x}^2+bx+c$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego $a{x}^2+bx+c=0$) zależy od wyróżnika $\Delta$:

1. jeżeli $\Delta >0$, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):

2. jeżeli $\Delta =0$, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste):

3. jeżeli $\Delta <0$, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

Jeżeli $\Delta \ge 0$, to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej:

Wzory Viète'a. Jeżeli $\Delta \ge 0$, to