Potęgi i pierwiastki

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ definiujemy jej $n$-tą potęgę:

Pierwiastkiem arytmetycznym $\sqrt[n]{a}$ stopnia $n$ z liczby $a\ge 0$ nazywamy liczbę $b\ge 0$ taką, że $b^n=a$.

W szczególności, dla każdej liczby rzeczywistej $a$ prawdziwa jest równość:

Jeżeli $a<0$ oraz liczba $n$ jest nieparzysta, to $\sqrt[n]{a}$ oznacza liczbę $b<0$ taką, że $b^n=a$. W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

Niech $m$, $n$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:

Niech $r$, $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a>0$ i $b>0$, to:

Jeżeli wykładniki $r$, $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a\ne 0$ i $b\ne 0$.

Niech $x$, $y$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Jeżeli $a\in (0,1)$, to nierówność $a^x<a^y$ jest równoważna nierówności $x>y$.

Jeżeli $a\in (1,+\infty )$, to nierówność $a^x<a^y$ jest równoważna nierówności $x<y$.