Potęgi i pierwiastki

Q: Czy potęga o wykładniku ujemnym daje liczbę ujemną?

Nie. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność: a do potęgi minus n to 1 podzielone przez a do potęgi n. Znak wyniku zależy wyłącznie od znaku podstawy, a nie od znaku wykładnika.

Q: Jak usunąć niewymierność z mianownika?

Mnożysz licznik i mianownik przez to samo wyrażenie: przy pojedynczym pierwiastku przez ten pierwiastek, a przy sumie lub różnicy przez wyrażenie sprzężone. Wartość ułamka się nie zmienia, bo mnożysz przez jedynkę zapisaną inaczej.

Działania na potęgach i pierwiastkach, notacja wykładnicza i przekształcanie wyrażeń z pierwiastkami. To fundament, na którym stoją później logarytmy i funkcja wykładnicza.

Ten dział to średnio 2 zadania i 2 pkt na arkuszu.

Zadanie 1 Potęgi i pierwiastki

1 pkt

Liczba

\frac{3 - 64 + 3 27}{5 - 32}

jest równa

\frac{1}{2}

1
Liczymy pierwiastki trzeciego stopnia w liczniku.
$3 - 64 = - 4, 327 = 3$
2
W mianowniku liczymy pierwiastek piątego stopnia, korzystając z $(- 2)^{5} = - 32$ .
$5 - 32 = - 2$
3
Wstawiamy obliczone pierwiastki do ułamka.
$\frac{- 4 + 3}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} = \frac{1}{2}$

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Mnożenie, dzielenie i potęgowanie potęg o tej samej podstawie
Potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym i wymiernym
Zamiana pierwiastka na potęgę i odwrotnie
Usuwanie niewymierności z mianownika
Porównywanie liczb zapisanych w postaci potęg i pierwiastków
Notacja wykładnicza i szacowanie rzędu wielkości

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Potęgi i pierwiastki

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ definiujemy jej $n$ -tą potęgę:

a^{n} = n razy a \cdot a \cdot \dots \cdot a

Pierwiastkiem arytmetycznym $n a$ stopnia $n$ z liczby $a \geq 0$ nazywamy liczbę $b \geq 0$ taką, że $b^{n} = a$ .

W szczególności, dla każdej liczby rzeczywistej $a$ prawdziwa jest równość:

a^{2} = ∣ a ∣

Jeżeli $a < 0$ oraz liczba $n$ jest nieparzysta, to $n a$ oznacza liczbę $b < 0$ taką, że $b^{n} = a$ . W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

Niech $m$ , $n$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:

dla a \neq = 0 : a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} oraz a^{0} = 1

dla a \geq 0 : a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}

dla a > 0 : a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{n a ^{m}}

Niech $r$ , $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to:

a^{r} \cdot a^{s} = a^{r + s}

(a^{r})^{s} = a^{r \cdot s}

\frac{a ^{r}}{a ^{s}} = a^{r - s}

(a \cdot b)^{r} = a^{r} \cdot b^{r}

(\frac{a}{b})^{r} = \frac{a ^{r}}{b ^{r}}

Jeżeli wykładniki $r$ , $s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq = 0$ i $b \neq = 0$ .

Niech $x$ , $y$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Jeżeli $a \in (0, 1)$ , to nierówność $a^{x} < a^{y}$ jest równoważna nierówności $x > y$ .

Jeżeli $a \in (1, + \infty)$ , to nierówność $a^{x} < a^{y}$ jest równoważna nierówności $x < y$ .

Najczęstsze pytania

Nie. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność: a do potęgi minus n to 1 podzielone przez a do potęgi n. Znak wyniku zależy wyłącznie od znaku podstawy, a nie od znaku wykładnika.

Mnożysz licznik i mianownik przez to samo wyrażenie: przy pojedynczym pierwiastku przez ten pierwiastek, a przy sumie lub różnicy przez wyrażenie sprzężone. Wartość ułamka się nie zmienia, bo mnożysz przez jedynkę zapisaną inaczej.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu potęgi i pierwiastki.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Potęgi i pierwiastki

Najczęstsze pytania