Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo klasyczne, drzewka, prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Klucz do zadań to poprawnie opisany zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.

Ten dział to średnio 1 zadanie i 2,6 pkt na arkuszu.

Zadanie 5 Prawdopodobieństwo

3 pkt

W pewnej lokalnej społeczności

35%

osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada

70%

osób mających wyższe wykształcenie i

40%

osób bez wyższego wykształcenia.
Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

P (B_{1} ∣ A) \approx 0, 49

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Niech $A$ oznacza zdarzenie, że losowo wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim, $B_{1}$ – że ma wyższe wykształcenie, a $B_{2}$ – że nie ma wyższego wykształcenia. Z treści zadania:
$P (B_{1}) = 0, 35, P (B_{2}) = 0, 65$
2
Prawdopodobieństwa warunkowe władania językiem niemieckim wynoszą:
$P (A ∣ B_{1}) = 0, 7, P (A ∣ B_{2}) = 0, 4$
3
Szukane prawdopodobieństwo obliczamy z twierdzenia Bayesa:
$P (B_{1} ∣ A) = \frac{P ( B _{1} ) \cdot P ( A ∣ B _{1} )}{P ( A ∣ B _{1} ) \cdot P ( B _{1} ) + P ( A ∣ B _{2} ) \cdot P ( B _{2} )}$
4
Podstawiamy dane i obliczamy:
$P (B_{1} ∣ A) = \frac{0 , 35 \cdot 0 , 7}{0 , 7 \cdot 0 , 35 + 0 , 4 \cdot 0 , 65} = 0, (4851) \approx 0, 49$

Lista zadań

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Zbiór zdarzeń elementarnych i zdarzenia sprzyjające
Prawdopodobieństwo klasyczne
Drzewko i doświadczenia wieloetapowe
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń i zdarzenie przeciwne
Prawdopodobieństwo warunkowe oraz niezależność zdarzeń

Wzory

Wzory z karty maturalnej CKE dotyczące tego działu.

Rachunek prawdopodobieństwa

Własności prawdopodobieństwa
Niech $Ω$ będzie niepustym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, natomiast $P$ – prawdopodobieństwem określonym na podzbiorach zbioru $Ω$ . Wtedy:

0 \leq P (A) \leq 1 dla ka \overset{z}{˙} dego zdarzenia A \subset Ω

P (\emptyset) = 0

P (Ω) = 1

P (A) \leq P (B) dla A \subset B \subset Ω

P (A^{'}) = 1 - P (A)

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

P (A \cup B) \leq P (A) + P (B)

gdzie $A^{'}$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A \subset Ω$

Twierdzenie (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Niech $Ω$ będzie niepustym skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego $A$ jest równe:

P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}

gdzie $∣ A ∣$ oznacza liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu $A$ , natomiast $∣Ω∣$ – liczbę elementów zbioru $Ω$ .

Schemat Bernoullego
Próbą Bernoullego nazywamy doświadczenie losowe, w którym otrzymujemy jeden z dwóch możliwych wyników. Jeden z nich nazywamy sukcesem, a drugi – porażką. Jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu jest równe $p$ , to prawdopodobieństwo porażki jest równe $q = 1 - p$ .

Schematem Bernoullego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń prób Bernoullego. W schemacie Bernoullego prawdopodobieństwo $P_{n} (k)$ uzyskania w $n$ próbach dokładnie $k$ sukcesów ( $0 \leq k \leq n$ ) jest równe:

P_{n} (k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}

Prawdopodobieństwo warunkowe
Niech $A$ , $B$ będą zdarzeniami losowymi zawartymi w $Ω$ , przy czym $P (B) > 0$ . Prawdopodobieństwem warunkowym $P (A ∣ B)$ zdarzenia $A$ pod warunkiem zaistnienia zdarzenia $B$ nazywamy liczbę:

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli zdarzenia losowe $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ zawarte w $Ω$ spełniają warunki: (1) są parami rozłączne, tzn. $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset$ dla $i \neq = j$ ; (2) $B_{1} \cup B_{2} \cup \dots \cup B_{n} = Ω$ ; (3) $P (B_{i}) > 0$ dla $1 \leq i \leq n$ , to dla każdego zdarzenia losowego $A \subset Ω$ prawdziwa jest równość:

P (A) = P (A ∣ B_{1}) \cdot P (B_{1}) + P (A ∣ B_{2}) \cdot P (B_{2}) + \dots + P (A ∣ B_{n}) \cdot P (B_{n})

Twierdzenie Bayesa
Jeżeli zdarzenia losowe $A, B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ zawarte w $Ω$ spełniają warunki:
(1) $B_{1}, \dots, B_{n}$ są parami rozłączne
(2) $B_{1} \cup \dots \cup B_{n} = Ω$
(3) $P (B_{i}) > 0$ dla $1 \leq i \leq n$
(4) $P (A) > 0$
to dla każdego $k$ ( $1 \leq k \leq n$ ) prawdziwa jest równość:

P (B_{k} ∣ A) = \frac{P ( B _{k} ) \cdot P ( A ∣ B _{k} )}{P ( A ∣ B _{1} ) \cdot P ( B _{1} ) + P ( A ∣ B _{2} ) \cdot P ( B _{2} ) + \dots + P ( A ∣ B _{n} ) \cdot P ( B _{n} )}

Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Niech $X$ będzie zmienną losową o wartościach $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in R$ , określoną na zbiorze $Ω$ , przy czym $P ({ω : ω \in Ω oraz X (ω) = x_{i}}) = p_{i}$ dla $1 \leq i \leq n$ . Wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$ nazywamy liczbę:

E (X) = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + \dots + x_{n} \cdot p_{n}

Najczęstsze pytania

Gdy w treści pada „co najmniej jeden". Zwykle łatwiej policzyć prawdopodobieństwo, że nie zaszło żadne takie zdarzenie, i odjąć wynik od jedynki.

Nie. Prawdopodobieństwo jest liczbą z przedziału od zera do jedynki, więc wynik spoza tego przedziału oznacza błąd w zliczaniu zdarzeń sprzyjających albo wszystkich.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu prawdopodobieństwo.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Wzory

Rachunek prawdopodobieństwa

Najczęstsze pytania