Prawdopodobieństwo

Własności prawdopodobieństwa
Niech $\Omega$ będzie niepustym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, natomiast $P$ – prawdopodobieństwem określonym na podzbiorach zbioru $\Omega$. Wtedy:

gdzie $A^{\prime }$ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia $A\subset \Omega$

Twierdzenie (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Niech $\Omega$ będzie niepustym skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego $A$ jest równe:

gdzie $|A|$ oznacza liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu $A$, natomiast $|\Omega |$ – liczbę elementów zbioru $\Omega$.

Schemat Bernoullego
Próbą Bernoullego nazywamy doświadczenie losowe, w którym otrzymujemy jeden z dwóch możliwych wyników. Jeden z nich nazywamy sukcesem, a drugi – porażką. Jeżeli prawdopodobieństwo sukcesu jest równe $p$, to prawdopodobieństwo porażki jest równe $q=1-p$.

Schematem Bernoullego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń prób Bernoullego. W schemacie Bernoullego prawdopodobieństwo $P_n(k)$ uzyskania w $n$ próbach dokładnie $k$ sukcesów ($0\le k\le n$) jest równe:

Prawdopodobieństwo warunkowe
Niech $A$, $B$ będą zdarzeniami losowymi zawartymi w $\Omega$, przy czym $P(B)>0$. Prawdopodobieństwem warunkowym $P(A|B)$ zdarzenia $A$ pod warunkiem zaistnienia zdarzenia $B$ nazywamy liczbę:

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli zdarzenia losowe $B_1,B_2,\dots ,B_n$ zawarte w $\Omega$ spełniają warunki: (1) są parami rozłączne, tzn. $B_i\cap B_j=\varnothing$ dla $i\ne j$; (2) $B_1\cup B_2\cup \dots \cup B_n=\Omega$; (3) $P(B_i)>0$ dla $1\le i\le n$, to dla każdego zdarzenia losowego $A\subset \Omega$ prawdziwa jest równość:

Twierdzenie Bayesa
Jeżeli zdarzenia losowe $A,B_1,B_2,\dots ,B_n$ zawarte w $\Omega$ spełniają warunki:
(1) $B_1,\dots ,B_n$ są parami rozłączne
(2) $B_1\cup \dots \cup B_n=\Omega$
(3) $P(B_i)>0$ dla $1\le i\le n$
(4) $P(A)>0$
to dla każdego $k$ ($1\le k\le n$) prawdziwa jest równość:

Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Niech $X$ będzie zmienną losową o wartościach $x_1,x_2,\dots ,x_n\in \mathbb{R}$, określoną na zbiorze $\Omega$, przy czym $P(\{\omega :\omega \in \Omega \text{ oraz }X(\omega )=x_i\})=p_i$ dla $1\le i\le n$. Wartością oczekiwaną zmiennej losowej $X$ nazywamy liczbę: