Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej… - Matura rozszerzona marzec 2021, zadanie 2, rozwiązanie

Zadanie 2 - Matura rozszerzona 2021 (marzec) - Rozwiązanie

1 pkt

Dane są dwie urny z kulami. W pierwszej urnie jest

10

kul:

8

białych i

2

czarne, w drugiej jest

8

kul:

5

białych i

3

czarne. Wylosowanie każdej z urn jest jednakowo prawdopodobne. Wylosowano jedną z tych urn i wyciągnięto z niej losowo jedną kulę. Wyciągnięta kula była czarna. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana kula pochodziła z pierwszej z tych urn, jest równe

Poprawna odpowiedź

\frac{8}{23}

Wprowadzamy oznaczenia zdarzeń:
- $U_{1}$ - wylosowanie pierwszej urny
- $U_{2}$ - wylosowanie drugiej urny
- $C z$ - wyciągnięcie czarnej kuli
Zapisujemy znane prawdopodobieństwa.
$P (U_{1}) = P (U_{2}) = \frac{1}{2} P (C z ∣ U_{1}) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} P (C z ∣ U_{2}) = \frac{3}{8}$
Korzystamy ze wzoru Bayesa.
$P (U_{1} ∣ C z) = \frac{P ( C z ∣ U _{1} ) \cdot P ( U _{1} )}{P ( C z ∣ U _{1} ) \cdot P ( U _{1} ) + P ( C z ∣ U _{2} ) \cdot P ( U _{2} )}$
Podstawiamy dane liczbowe.
$P (U_{1} ∣ C z) = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10} + \frac{3}{16}}$
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnego mianownika $80$ i upraszczamy.
$\frac{1}{10} = \frac{8}{80}, \frac{3}{16} = \frac{15}{80} P (U_{1} ∣ C z) = \frac{\frac{8}{80}}{\frac{8}{80} + \frac{15}{80}} = \frac{8}{23}$
Otrzymana wartość odpowiada odpowiedzi C.

Zadanie 2 - Matura rozszerzona 2021 (marzec) - Rozwiązanie

Podobne zadania z działu prawdopodobieństwo