Logarytmy

Definicja logarytmu, działania na logarytmach i równania logarytmiczne. Logarytm odpowiada na pytanie „do której potęgi podnieść podstawę", więc cały dział wyrasta z własności potęg.

Występowanie na egzaminach

zadań: 3 z 71

punktów: 6 z 250

Ostatnie5 matur

Średnio 1,2 pkt do zdobycia na arkuszu.

zadań: 14 z 278

punktów: 29 z 950

Wszystkie arkusze19 matur

Średnio 1,5 pkt do zdobycia na arkuszu.

Najnowsze zadania z tego tematu na egzaminach CKE

Zobacz wszystkie zadania

Matura rozszerzona czerwiec 2026, zadanie 1Dane są liczby rzeczywiste a oraz b: a = 16^(1/2log₄ 36 - 2log₄ 3) b = log₂ 9 · log₃ 5 · log₅ 8 Oblicz…
Matura rozszerzona czerwiec 2026 (F. 2015), zadanie 3Wartość wyrażenia √(25^(a)+49^(b)) dla a=1/(log₆ 5) oraz b=1/(log₈ 7) jest równa
Matura rozszerzona maj 2026 (F. 2015), zadanie 4Liczby x oraz y są takimi dodatnimi liczbami rzeczywistymi, że x · y ≠ 1 i y ≠ 1 oraz log_(x· y) x = 2026.…
Matura rozszerzona grudzień 2024, zadanie 4Wykaż, że 1/(log₂ 35 + 1) + 1/(log₇ 140 - log₇ 2) + 1/(log₅ 7 + log₅ 2 + 1) = 1
Matura rozszerzona maj 2024, zadanie 5Wykaż, że jeżeli log₅4 = a oraz log₄3 = b, to log₁₂80 = (2a+1)/(a · (1+b)).
Matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 1Dane są liczby a = 4^(log₂ 45) oraz b = (log₃ 2023)/(log₉ 2023) Oblicz a-b.
Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 12.1Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 81^(log₃ x) + (2·log₂√27·log₃ 2)/3· x² - 6x dla każdej liczby…
Matura rozszerzona grudzień 2022, zadanie 1Oblicz (log₃ 5 · log₂₅ 27)/(log₇ pierwiastek stopnia 6 z 49) Zapisz obliczenia.

Co trzeba umieć przed maturą

Definicja logarytmu i założenia na podstawę oraz liczbę logarytmowaną
Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi
Zamiana podstawy logarytmu
Równania logarytmiczne wraz z dziedziną
Obliczanie wartości wyrażeń z logarytmami bez kalkulatora

Wzory

Wzory z karty maturalnej dotyczące tego działu. Całą kartę otworzysz przyciskiem „Wzory” na górze strony.

Logarytmy

Niech $a > 0$ i $a \neq = 1$ . Logarytmem $lo g_{a} b$ liczby $b > 0$ przy podstawie $a$ nazywamy wykładnik $c$ potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ :

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

Równoważnie:

a^{l o g_{a} b} = b

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x > 0$ , $y > 0$ oraz $r$ prawdziwe są równości:

lo g_{a} (x \cdot y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y

lo g_{a} x^{r} = r \cdot lo g_{a} x

lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y

Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ , $b \neq = 1$ oraz $c > 0$ , to:

lo g_{b} c = \frac{lo g _{a} c}{lo g _{a} b}

W szczególności:

lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}

Zapisy $lo g x$ oraz $l g x$ oznaczają $lo g_{10} x$ .

Najczęstsze pytania

Bo podstawa logarytmu jest dodatnia, a dodatnia liczba podniesiona do dowolnej potęgi rzeczywistej zawsze daje wynik dodatni. Nie ma więc wykładnika, dla którego wyszłaby liczba ujemna albo zero.

Od dziedziny: każde wyrażenie pod logarytmem musi być dodatnie. Dopiero potem korzystasz z własności logarytmów, a na końcu sprawdzasz, które z otrzymanych liczb należą do wyznaczonej dziedziny.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu logarytmy.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.