Do czego w życiu przydają się logarytmy?

Q: Jak policzyć, ile cyfr ma duża potęga?

Policz logarytm dziesiętny ze wzoru $\log a^n = n\log a$. Część całkowita wyniku plus jeden to liczba cyfr. Na przykład $2^{100}$ ma $31$ cyfr, bo $100\cdot 0{,}30103 \approx 30{,}1$. Przy dużym $n$ weź $\log a$ z co najmniej tyloma cyframi po przecinku, ile cyfr ma $n$, inaczej wynik może przeskoczyć o jedną cyfrę.

17 października 2026 · 14 min czytania

Słuch i wzrok reagują na to, ile razy bodziec urósł, a nie o ile. Logarytm zamienia mnożenie w dodawanie, więc mierzy się nim decybele i jasność. Przy okazji liczy cyfry wielkich liczb.

Rozmowa przy obiedzie ma około

60

decybeli, odkurzacz w sobotę o 8 rano około

70

. Liczby

60

70

wyglądają na prawie równe. A odkurzacz daje dziesięć razy większe natężenie dźwięku niż rozmowa. Szkolny dzwonek, gdy stoisz tuż pod nim, ma około

90

dB. To o

30

więcej niż rozmowa, a natężenie jest tysiąc razy większe. Skąd skala, w której dodanie

10

znaczy pomnożenie przez

10

Każde 10 decybeli to razy 10

Natężenie dźwięku to energia, która w ciągu sekundy pada na metr kwadratowy powierzchni, więc mierzy się je w watach na metr kwadratowy. Najcichszy dźwięk, który usłyszy zdrowe ucho, ma natężenie około

1 0^{- 12}

W/m². Ten próg dostaje

0

dB.

Policz kilka kroków od progu. Szept ma natężenie

1 0^{- 9}

W/m², rozmowa

1 0^{- 6}

W/m², a próg bólu to około

1

W/m². Podziel każde przez

1 0^{- 12}

i zobacz, jaki wychodzi wykładnik:

szept: $1 0^{- 9} : 1 0^{- 12} = 1 0^{3}$ , a w decybelach $30$
rozmowa: $1 0^{- 6} : 1 0^{- 12} = 1 0^{6}$ , a w decybelach $60$
próg bólu: $1 : 1 0^{- 12} = 1 0^{12}$ , a w decybelach $120$

Decybele to ten wykładnik razy

10

Dlaczego zwykła oś nie wystarcza

Skoro natężenie to zwykła liczba, czemu nie narysować jej na zwykłej osi, od

0

1

W/m²? Spróbuj na kilku dźwiękach z codziennego życia.

Przełącz skalę. Na liniowej osi pięć z siedmiu dźwięków stoi w zerze.

Na liniowej osi szept, rozmowa, odkurzacz i dzwonek lądują w tym samym punkcie. Odkurzacz jest dziesięć tysięcy razy silniejszy od szeptu (

1 0^{- 5}

wobec

1 0^{- 9}

), a na ekranie dzieli je mniej niż setna część piksela. Ta oś jest dokładna, ale nic na niej nie widać poza dwoma najgłośniejszymi dźwiękami.

Przełącz na skalę logarytmiczną. Teraz jedna kreska w prawo to zawsze

20

dB więcej, czyli natężenie razy

100

. Dźwięki rozkładają się po całej osi, bo zaznaczasz tylko wykładnik.

Jak w ogóle liczy się te logarytmy?

Wykładnik, do którego trzeba podnieść

10

, żeby dostać

x

, to logarytm dziesiętny

lo g x

. Zamiast

10

może stać inna podstawa, więc ogólnie:

lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b

podstawa a > 0 i a ≠ 1, liczba logarytmowana b > 0

Liczenie logarytmu to tak naprawdę zadanie sobie jednego pytania. Do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby dostać liczbę pod logarytmem?

lo g_{2} 8 lo g 1000 lo g 0, 01 lo g_{3} \frac{1}{9} = 3 = 3 = - 2 = - 2 bo 2^{3} = 8 bo 1 0^{3} = 1000 bo 1 0^{- 2} = 0, 01 bo 3^{- 2} = \frac{1}{9}

Warunki mają powód. Ujemna podstawa psuje potęgi ułamkowe, bo

(- 2)^{1/2} = - 2

nie istnieje. Dodatnia podstawa podniesiona do dowolnej potęgi daje liczbę dodatnią, więc żadna potęga dziesiątki nie da

- 5

lo g (- 5)

nie istnieje. Jedynka podniesiona do dowolnej potęgi daje

1

, bo

1 \cdot 1 \cdot \dots \cdot 1 = 1

. Żadna potęga jedynki nie da więc

5

lo g_{1} 5

nie istnieje.

Nie każda liczba jest potęgą podstawy.

50

leży między

10

100

, więc

lo g 50

leży między

1

2

. Dokładną wartość

lo g 50 = 1, 69897 \dots

poda kalkulator naukowy. Na maturze masz tylko prosty kalkulator, więc w wyniku możesz zostawić taki logarytm albo skorzystać z reguły w dalszej części tekstu.

Wróćmy do decybeli. Szept to

10 lo g 1 0^{3} = 30

dB, rozmowa

10 lo g 1 0^{6} = 60

dB. Cała lista to jeden wzór:

L = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}, I_{0} = 1 0^{- 12} W/m^{2}

poziom dźwięku w decybelach

L

to poziom dźwięku w decybelach, a

I

to natężenie dźwięku.

I_{0} = 1 0^{- 12}

W/m² to próg słyszenia z początku tekstu, czyli natężenie najcichszego dźwięku, jaki słyszy ucho. Dzielimy przez nie, więc logarytm mówi, ile razy dźwięk jest silniejszy od progu.

Mnożenie zamienia się w dodawanie

Teraz policzmy decybele odkurzacza. Jego natężenie to dziesięć natężeń rozmowy, więc

10 lo g \frac{10 \cdot I}{I _{0}} = 10 lo g 10 + 10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 10 + 60 = 70

Mnożenie natężenia przez

10

zamieniło się w dodanie

10

decybeli. Tak działa każdy logarytm.

lo g (a \cdot b) = lo g a + lo g b

logarytm iloczynu to suma logarytmów

Dlaczego? Przy mnożeniu potęg wykładniki się dodają,

1 0^{m} \cdot 1 0^{k} = 1 0^{m + k}

, a logarytm to właśnie wykładnik.

A co się stanie, gdy obok głośnika postawisz drugi taki sam? Natężenie rośnie dwukrotnie, z

I

2 \cdot I

. Liczymy tak samo jak przy odkurzaczu, tylko zamiast

10

stoi

2

10 lo g \frac{2 \cdot I}{I _{0}} = 10 lo g 2 + 10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 10 lo g 2 + L

Drugi głośnik dodaje więc

10 lo g 2

dB do poziomu jednego głośnika. Ile to jest? Dziesięć pomnożonych dwójek daje prawie tyle, co trzy pomnożone dziesiątki.

2^{10} = 1024 \approx 1 0^{3} \Rightarrow 10 lo g 2 \approx 3

Stąd

lo g 2 \approx 0, 3

(dokładniej

0, 30103

), a drugi głośnik dodaje około

3

dB. Nie dwa razy więcej decybeli, tylko o trzy więcej. Żeby dodać

10

dB, potrzeba dziesięciu głośników, a żeby dodać

20

dB, stu.

n = 2

2 głośniki: natężenie 2 razy większe, poziom wyższy o 3,01 dB (z 60 do 63,01 dB).

Przesuń suwak. Drugi głośnik dodaje 3 dB, a setny prawie nic.

Krzywa na wykresie to wykres logarytmu. Rośnie bez końca, ale coraz wolniej. Od

1

10

głośników przybywa

10

dB i od

10

100

też

10

dB, choć głośników przybyło dziesięć razy więcej. Ucho też spłaszcza w ten sposób. Dźwięk o

10

dB głośniejszy, czyli dziesięć razy silniejszy, wydaje się mniej więcej dwa razy głośniejszy. Dlatego każde kolejne

+ 10

dB odbierasz jako podobny krok w górę.

Dlaczego w nocy słychać każdy krok

Spuść wodę w łazience w południe, a potem o trzeciej w nocy. Spłuczka nie wie, która jest godzina, i za każdym razem daje tyle samo decybeli. A w nocy brzmi jak wodospad i budzi pół domu. Dlaczego?

Bo ucho porównuje dźwięk z tym, co już słychać. W dzień tło w mieszkaniu to około

45

dB, bo szumi lodówka, ulica za oknem i czyjś telewizor. W nocy spada do około

25

dB. To

20

dB mniej, czyli natężenie tła mniejsze

1 0^{2} = 100

razy. Spłuczka się nie zmieniła, ale jej stosunek do tła jest w nocy sto razy większy niż w dzień.

Ze światłem jest tak samo. Zapal świecę w ciemnym pokoju, a różnica jest ogromna. Zapal jedną więcej przy stu płonących, a ledwo to zauważysz. Żeby przy stu świecach zobaczyć tę samą zmianę co przy jednej, trzeba dołożyć sto, czyli znów podwoić. Równe stosunki czujesz jako równe kroki, a zamiana równych stosunków na równe kroki to logarytm, bo

lo g 2 - lo g 1 = lo g 200 - lo g 100

Tę zasadę opisał w latach trzydziestych XIX wieku Ernst Weber. Według niego najmniejsza zmiana bodźca, jaką czujesz, to stała część tego, co już jest. W 1860 roku Gustav Fechner wywnioskował z tego, że odczucie rośnie jak logarytm bodźca. To przybliżenie (przy bardzo słabych i bardzo silnych bodźcach się psuje), ale w zwykłym zakresie działa dobrze.

Jak oko widzi i w nocy, i w dzień

Oświetlenie mierzy się w luksach. Świeca z odległości metra daje około

1

luksa. W bezksiężycową noc pod gołym niebem jest około

0, 001

lx, na plaży w lipcowe południe około

100000

lx. To

1 0^{8}

, sto milionów razy więcej. A w obu miejscach widzisz, gdzie stawiasz nogi.

Na liniowej osi cała noc, poranek i lekcja w klasie mieszczą się przy zerze.

Na skali logarytmicznej sto milionów to tylko osiem kroków po

\times 10

. Oko nie musi więc rozróżniać stu milionów poziomów jasności. Wystarczy, że porównuje sąsiednie miejsca, na przykład że ta kartka jest pięć razy jaśniejsza od tamtego cienia. Taki stosunek wygląda mniej więcej tak samo przy księżycu i przy słońcu.

Samo porównywanie stosunków nie wystarcza, bo oko musi jeszcze przestawiać czułość. Źrenica zmienia średnicę od około

2

8

mm, czyli

4

razy, a pole koła rośnie z kwadratem średnicy, więc wpuszcza najwyżej

16

razy więcej światła. To mało wobec stu milionów. Resztę robi siatkówka. W dzień pracują w niej czopki, w nocy dużo czulsze pręciki, a pełne przestawienie się na ciemność trwa około pół godziny. Po przestawieniu oko dobrze rozróżnia kilka kroków

\times 10

wokół jasności, do której przywykło.

Stąd telefon pod kołdrą o drugiej w nocy. Ekran na pełnej jasności daje z bliska kilkadziesiąt luksów, tysiące razy mniej niż słońce. Ale oko przestawione na ciemność porównuje go z nocą i ekran świeci jak reflektor. Rano działa to samo. Mama zapala światło o siódmej, w pokoju robi się około

150

lx i to wystarcza, żeby poczuć się jak na przesłuchaniu. Godzinę później w klasie jest kilka razy jaśniej i nikt tego nie zauważa.

Ile cyfr ma liczba

Logarytm dziesiętny potrafi też policzyć ile jest cyfr w liczbie.

lo g 100 = 2

, a

100

ma trzy cyfry.

lo g 999 \approx 2, 9996

, a

999

też ma trzy.
Każda liczba trzycyfrowa leży między

1 0^{2}

1 0^{3}

, więc jej logarytm leży między

2

3

. Część całkowita logarytmu plus jeden to liczba cyfr każdej liczby naturalnej

N \geq 1

liczba cyfr N = ⌊ lo g N ⌋ + 1 np. ⌊ 2, 9996 ⌋ = 2, ⌊ 30, 103 ⌋ = 30

⌊x⌋ to część całkowita liczby x, N to liczba naturalna dodatnia

Ile cyfr ma

2^{100}

? Ręczne mnożenie stu dwójek to szaleństwo.
Ale reguła z odkurzacza,

lo g (a \cdot b) = lo g a + lo g b

, rozbija iloczyn na sumę.

2^{100}

to iloczyn stu dwójek, więc jego logarytm to suma stu logarytmów dwójki:

lo g 2^{100} = 100 lo g 2 + lo g 2 + \dots + lo g 2 = 100 \cdot lo g 2 \approx 100 \cdot 0, 30103 = 30, 103

Ten sam rachunek działa dla każdej potęgi, więc mamy nowy wzór

lo g a^{n} = n lo g a

. Część całkowita to

30

, więc cyfr jest

31

. Kalkulator naukowy pokaże

1, 2676506 \cdot 1 0^{30}

, a wykładnik

30

to znowu część całkowita logarytmu. Pełny wynik wygląda tak.

2^{100} = 1267650600228229401496703205376

31 cyfr

Większe liczby przerastają każdy kalkulator. W październiku 2024 roku znaleziono kolejną największą liczbę pierwszą

2^{136279841} - 1

.
Wystarczy więc policzyć

136279841 \cdot lo g 2

aby dowiedzieć się ile ta znaleziona liczba ma cyfr.

Przyjmijmy znowu, że

lo g 2 \approx 0, 30103

136279841 \cdot 0, 30103 \approx 41024320, 5

Część całkowita plus jeden daje

41024321

cyfr.
Niestety to o jedną za dużo. Co poszło źle? Prawdziwe

lo g 2

0, 3010299957 \dots

, więc zaokrąglenie do

0, 30103

przesunęło je tylko o około

0, 000000004

. Ale ten błąd mnożymy przez ponad sto milionów i rośnie do około

0, 6

. To wystarczy, żeby przeskoczyć przez liczbę całkowitą.

Przybliżmy teraz do dziewięciu cyfr po przecinku.

136279841 \cdot 0, 301029996 \approx 41024319, 99

Teraz część całkowita to

41024319

, więc ta liczba ma

41024320

cyfr. Wydrukowana po

3000

cyfr na stronie zajęłaby ponad

13600

stron.

Ta sama reguła na maturze

Wystarczą dwie reguły z decybeli i cyfr:

lo g (a \cdot b) = lo g a + lo g b

oraz

lo g a^{n} = n lo g a

Zadanie 3 Logarytmy

1 pkt

Liczba dwukrotnie większa od

lo g 3 + lo g 2

jest równa

lo g 36

Korzystamy z własności logarytmów: suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu:
$lo g 3 + lo g 2 = lo g (3 \cdot 2) = lo g 6$
Liczba dwukrotnie większa to $2 lo g 6$ , co zapisujemy jako logarytm potęgi:
$2 lo g 6 = lo g 6^{2} = lo g 36$

Ściąga

$lo g_{a} b = c$ znaczy $a^{c} = b$
$lo g (a \cdot b) = lo g a + lo g b$
$lo g a^{n} = n lo g a$
poziom dźwięku: $L = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}$ , gdzie $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m²
natężenie $\times 10$ to $+ 10$ dB
natężenie $\times 2$ to około $+ 3$ dB
liczba cyfr $N$ to $⌊ lo g N ⌋ + 1$
przy dużym $n$ weź $lo g a$ z co najmniej tyloma cyframi po przecinku, ile cyfr ma $n$

Najczęstsze pytania

Nie. 20 dB to natężenie 10 razy większe niż 10 dB. Ucho odbiera taką różnicę mniej więcej jako dwa razy głośniej. Dwa jednakowe źródła dźwięku zamiast jednego dają tylko około 3 dB więcej.

Policz logarytm dziesiętny ze wzoru $lo g a^{n} = n lo g a$ . Część całkowita wyniku plus jeden to liczba cyfr. Na przykład $2^{100}$ ma $31$ cyfr, bo $100 \cdot 0, 30103 \approx 30, 1$ . Przy dużym $n$ weź $lo g a$ z co najmniej tyloma cyframi po przecinku, ile cyfr ma $n$ , inaczej wynik może przeskoczyć o jedną cyfrę.

Poćwicz na prawdziwych zadaniach

Teoria wchodzi najszybciej na zadaniach z arkuszy, z rozwiązaniami krok po kroku.

Matura podstawowa Zbiór zadań