Wartość wyrażenia log_(√2) 3 · log_(√3) 2 jest równa

Zadanie 1, matura rozszerzona czerwiec 2023 (F. 2015)

1 pkt

Wartość wyrażenia

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2

jest równa

Poprawna odpowiedź

4

Zamieniamy podstawy logarytmów na $2$ i $3$ . Korzystamy ze wzoru $lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ oraz z tego, że $lo g_{2} 2 = \frac{1}{2}$ i $lo g_{3} 3 = \frac{1}{2}$ .
$lo g_{2} 3 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 2} = \frac{lo g _{2} 3}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot lo g_{2} 3 lo g_{3} 2 = \frac{lo g _{3} 2}{lo g _{3} 3} = \frac{lo g _{3} 2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot lo g_{3} 2$
Mnożymy oba wyniki. Ponieważ $lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{lo g _{2} 3}{lo g _{2} 3} = 1$ , dostajemy wynik.
$2 \cdot lo g_{2} 3 \cdot 2 \cdot lo g_{3} 2 = 4 \cdot 1 = 4$