Funkcja f jest określona wzorem f(x) =… - Matura rozszerzona maj 2023, zadanie 12.1, rozwiązanie

Zadanie 12.1, matura rozszerzona maj 2023

2 pkt

Funkcja

f

jest określona wzorem

f (x) = 8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

dla każdej liczby dodatniej

x

.

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

x

wyrażenie

8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x

można równoważnie przekształcić do postaci

x^{4} + x^{2} - 6 x

8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x = x^{4} + x^{2} - 6 x

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Zapisujemy $81$ jako $3^{4}$ i zamieniamy kolejność potęgowania.
$8 1^{l o g_{3} x} = (3^{4})^{l o g_{3} x} = (3^{l o g_{3} x})^{4} = x^{4}$
2
Zapisujemy $27$ jako potęgę liczby $3$ i wykładnik wyciągamy przed logarytm.
$lo g_{2} 27 = lo g_{2} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} lo g_{2} 3$
3
Wstawiamy to do współczynnika przy $x^{2}$ i skracamy.
$\frac{2 \cdot \frac{3}{2} lo g _{2} 3 \cdot lo g _{3} 2}{3} = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2$
4
Zamieniamy podstawę logarytmu $lo g_{2} 3$ na $3$ .
$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a} lo g_{2} 3 = \frac{lo g _{3} 3}{lo g _{3} 2} = \frac{1}{lo g _{3} 2} lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 2 = \frac{1}{lo g _{3} 2} \cdot lo g_{3} 2 = 1$
5
Wstawiamy oba wyniki do wyrażenia.
$8 1^{l o g_{3} x} + \frac{2 \cdot lo g _{2} 27 \cdot lo g _{3} 2}{3} \cdot x^{2} - 6 x = x^{4} + 1 \cdot x^{2} - 6 x = x^{4} + x^{2} - 6 x$

Zadanie 12.1, matura rozszerzona maj 2023