Oblicz (log₃ 5 · log₂₅ 27)/(log₇ pierwiastek… - Matura rozszerzona grudzień 2022, zadanie 1, rozwiązanie

Zadanie 1 - Matura rozszerzona 2022 (grudzień) - Rozwiązanie

2 pkt

Oblicz

\frac{lo g _{3} 5 \cdot lo g _{25} 27}{lo g _{7} 6 49}

Zapisz obliczenia.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

\frac{9}{2}

Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu do $lo g_{25} 27$ , zapisując go przy podstawie $3$ :
$lo g_{25} 27 = \frac{lo g _{3} 27}{lo g _{3} 25} = \frac{lo g _{3} 27}{lo g _{3} 5 ^{2}} = \frac{lo g _{3} 27}{2 lo g _{3} 5}$
Mnożymy przez $lo g_{3} 5$ , dzięki czemu upraszcza się licznik całego wyrażenia:
$lo g_{3} 5 \cdot lo g_{25} 27 = lo g_{3} 5 \cdot \frac{lo g _{3} 27}{2 lo g _{3} 5} = \frac{lo g _{3} 27}{2}$
Przekształcamy mianownik, korzystając z definicji pierwiastka oraz wzoru na logarytm potęgi:
$lo g_{7} 649 = lo g_{7} (7^{2})^{\frac{1}{6}} = lo g_{7} 7^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} lo g_{7} 7 = \frac{1}{3}$
Obliczamy wartość wyrażenia, korzystając z definicji logarytmu ( $lo g_{3} 27 = 3$ ):
$\frac{lo g _{3} 5 \cdot lo g _{25} 27}{lo g _{7} 6 49} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2}$

Zadanie 1 - Matura rozszerzona 2022 (grudzień) - Rozwiązanie