Dowody algebraiczne

Dowody nierówności i równości algebraicznych. Przekształcasz wyrażenie tak, by zobaczyć w nim kwadrat albo sumę kwadratów, a punktowany jest cały zapis rozumowania, nie sama teza.

Ten dział to średnio 0,8 zadania i 2,4 pkt na arkuszu.

Zadanie 6.1 Dowody algebraiczne

2 pkt

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

za pomocą fragmentów wykresów funkcji

f

oraz

g

(zobacz rysunek). Funkcje

f

oraz

g

są określone wzorami

f (x) = x^{2}

oraz

g (x) = - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt

P = (- 1, 1)

.

Niech

R

będzie punktem leżącym na wykresie funkcji

g

.

Wykaż, że odległość punktu

R

od punktu

P

wyraża się wzorem

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

gdzie

x

jest pierwszą współrzędną punktu

R

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Punkt $R$ leży na wykresie funkcji $g$ , więc ma współrzędne $R = (x, g (x))$ . Stosujemy wzór na odległość dwóch punktów dla $P = (- 1, 1)$ :
$∣ P R ∣ = (x + 1)^{2} + (- \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4 - 1)^{2} ∣ P R ∣ = (x + 1)^{2} + (3 - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2})^{2}$
2
Zauważamy, że $(x - \frac{1}{2})^{2} = x^{2} - x + \frac{1}{4}$ . Kwadrat różnicy rozwijamy ze wzoru $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ :
$(3 - \frac{1}{2} (x^{2} - x + \frac{1}{4}))^{2} = 9 - 3 (x^{2} - x + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} (x^{2} - x + \frac{1}{4})^{2}$
3
Obliczamy kwadrat trójmianu:
$(x^{2} - x + \frac{1}{4})^{2} = x^{4} - 2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}$
4
Podstawiamy to do wyrażenia pod pierwiastkiem i porządkujemy:
$∣ P R ∣^{2} = x^{2} + 2 x + 1 + \frac{1}{4} (x^{4} - 2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}) - 3 x^{2} + 3 x - \frac{3}{4} + 9 ∣ P R ∣^{2} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}$
5
Zatem:
$∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}$

Lista zadań

Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 5Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby dodatniej b takich, że a+b=1, prawdziwa jest nierówność 1/(2a+b) + 1/(a+2b) ≥ 4/3

Otwórz w zbiorze zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Dowodzenie nierówności przez przekształcenia równoważne
Wykorzystanie tego, że kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny
Wzory skróconego mnożenia w dowodach
Nierówności z warunkiem, np. $a + b = 1$ albo $x > 2 y$
Dowodzenie równości wynikających z podanego warunku

Najczęstsze pytania

Najczęściej przenosisz wszystko na jedną stronę i przekształcasz różnicę tak, by zobaczyć w niej kwadrat albo sumę kwadratów. Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc to zamyka dowód.

Nie. Przykłady mogą co najwyżej obalić tezę, gdy któryś z nich jej przeczy. Dowód musi obejmować wszystkie przypadki, więc prowadzi się go na oznaczeniach ogólnych.

Losuj zadanieSprawdź się i wylosuj zadanie z działu dowody algebraiczne.Zbiór zadańWszystkie zadania z tego działu, z filtrami poziomu i trudności.Wygeneruj zestawZbuduj własny zestaw z tego działu i rozwiąż go z pomiarem czasu.Wszystkie działyWróć do spisu działów i wybierz kolejny materiał do powtórki.

Występowanie na egzaminach

Lista zadań

Lista zadań

Co trzeba umieć przed maturą

Najczęstsze pytania