Zadanie 2, matura rozszerzona maj 2025

3 pkt

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

a

i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = \frac{1}{2} a

, prawdziwa jest nierówność

(a + 2 b)^{3} > 8 a^{2} b + 16 a b^{2}

(a + 2 b)^{3} - 8 a^{2} b - 16 a b^{2} = (a - 2 b)^{2} (a + 2 b) > 0

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Przekształcamy nierówność równoważnie, korzystając ze wzoru na sześcian sumy $(a + 2 b)^{3}$ :
$(a + 2 b)^{3} > 8 a^{2} b + 16 a b^{2} a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3} - 8 a^{2} b - 16 a b^{2} > 0 a^{3} - 2 a^{2} b - 4 a b^{2} + 8 b^{3} > 0$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu dowody algebraiczne