Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej a i… - Matura rozszerzona czerwiec 2024, zadanie 5, rozwiązanie

Zadanie 5, matura rozszerzona czerwiec 2024

3 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej

a

i każdej liczby dodatniej

b

takich, że

a + b = 1

, prawdziwa jest nierówność

\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} \geq \frac{4}{3}

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc

(2 a - 1)^{2} \geq 0

dla każdego

a

, co jest równoważne dowodzonej nierówności.

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Ponieważ $a > 0$ i $b > 0$ , więc mianowniki $2 a + b$ oraz $a + 2 b$ są dodatnie, a ich iloczyn też jest dodatni. Przekształcamy nierówność równoważnie, sprowadzając lewą stronę do wspólnego mianownika.
$\frac{1}{2 a + b} + \frac{1}{a + 2 b} \geq \frac{4}{3} \frac{3 ( a + 2 b )}{3 ( 2 a + b ) ( a + 2 b )} + \frac{3 ( 2 a + b )}{3 ( 2 a + b ) ( a + 2 b )} - \frac{4 ( a + 2 b ) ( 2 a + b )}{3 ( 2 a + b ) ( a + 2 b )} \geq 0$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Zadanie 5, matura rozszerzona czerwiec 2024