Zadanie 30 - Matura podstawowa 2022 (czerwiec) - Rozwiązanie

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i każdej liczby rzeczywistej

y

takich, że

x \neq = y

prawdziwa jest nierówność

(\frac{1}{5} x + \frac{4}{5} y)^{2} < \frac{x ^{2} + 4 y ^{2}}{5}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Nierówność

(\frac{1}{5} x + \frac{4}{5} y)^{2} < \frac{x ^{2} + 4 y ^{2}}{5}

jest równoważna nierówności

(x - y)^{2} > 0

, prawdziwej dla

x \neq = y

Przekształcamy nierówność równoważnie. Podnosimy do kwadratu lewą stronę:
$(\frac{1}{5} x + \frac{4}{5} y)^{2} \frac{1}{25} x^{2} + \frac{8}{25} x y + \frac{16}{25} y^{2} < \frac{x ^{2} + 4 y ^{2}}{5} < \frac{x ^{2} + 4 y ^{2}}{5}$

Pozostałe kroki rozwiązania zadań o trudności 3 i wyższej są dostępne w planie Premium

Odblokuj pełne rozwiązania krok po kroku dla wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu dowodzenie