Zadanie 28, matura podstawowa maj 2019

2 pkt

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych

a

b

prawdziwa jest nierówność

3 a^{2} - 2 ab + 3 b^{2} \geq 0

Poprawna odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych

a

b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Przekształcamy nierówność równoważnie. Rozbijamy $3 a^{2}$ i $3 b^{2}$ tak, żeby pojawił się wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
$3 a^{2} - 2 ab + 3 b^{2} \geq 0 2 a^{2} + a^{2} - 2 ab + b^{2} + 2 b^{2} \geq 0 2 a^{2} + (a - b)^{2} + 2 b^{2} \geq 0$
Lewa strona jest sumą trzech liczb nieujemnych: $2 a^{2}$ jako wielokrotność kwadratu liczby, $(a - b)^{2}$ jako kwadrat liczby oraz $2 b^{2}$ jako wielokrotność kwadratu liczby. Zatem lewa strona jest nieujemna, czyli nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ . To kończy dowód.

Podobne zadania z działu dowodzenie