Zadanie 31, matura podstawowa maj 2022

2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

a

i każdej liczby rzeczywistej

b

takich, że

b \neq = a

, spełniona jest nierówność

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} > (\frac{a + b}{2})^{2}

Dowód wprost: nierówność jest równoważna

(a - b)^{2} > 0

, prawdziwej dla każdych

a \neq = b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

1
Przekształcamy nierówność w sposób równoważny. Mnożymy obie strony przez $4$ i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
$\frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} > (\frac{a + b}{2})^{2} \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} > \frac{a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{4} 2 a^{2} + 2 b^{2} > a^{2} + 2 ab + b^{2} a^{2} - 2 ab + b^{2} > 0 (a - b)^{2} > 0$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu dowody algebraiczne