Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na… - Matura rozszerzona marzec 2022, zadanie 6.1, rozwiązanie

2 pkt

Na obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym postanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie dostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt linii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie współrzędnych

(x, y)

za pomocą fragmentów wykresów funkcji

f

oraz

g

(zobacz rysunek). Funkcje

f

oraz

g

są określone wzorami

f (x) = x^{2}

oraz

g (x) = - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4

.
Początek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada w układzie współrzędnych punkt

P = (- 1, 1)

.

Niech

R

będzie punktem leżącym na wykresie funkcji

g

.

Wykaż, że odległość punktu

R

od punktu

P

wyraża się wzorem

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

gdzie

x

jest pierwszą współrzędną punktu

R

Poprawna odpowiedź

∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Punkt $R$ leży na wykresie funkcji $g$ , więc ma współrzędne $R = (x, g (x))$ . Stosujemy wzór na odległość dwóch punktów dla $P = (- 1, 1)$ :
$∣ P R ∣ = (x + 1)^{2} + (- \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2} + 4 - 1)^{2} ∣ P R ∣ = (x + 1)^{2} + (3 - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2})^{2})^{2}$
Zauważamy, że $(x - \frac{1}{2})^{2} = x^{2} - x + \frac{1}{4}$ . Kwadrat różnicy rozwijamy ze wzoru $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ :
$(3 - \frac{1}{2} (x^{2} - x + \frac{1}{4}))^{2} = 9 - 3 (x^{2} - x + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} (x^{2} - x + \frac{1}{4})^{2}$
Obliczamy kwadrat trójmianu:
$(x^{2} - x + \frac{1}{4})^{2} = x^{4} - 2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}$
Podstawiamy to do wyrażenia pod pierwiastkiem i porządkujemy:
$∣ P R ∣^{2} = x^{2} + 2 x + 1 + \frac{1}{4} (x^{4} - 2 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}) - 3 x^{2} + 3 x - \frac{3}{4} + 9 ∣ P R ∣^{2} = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}$
Zatem:
$∣ P R ∣ = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} - \frac{13}{8} x^{2} + \frac{39}{8} x + \frac{593}{64}$

Zadanie 6.1, matura rozszerzona marzec 2022

Podobne zadania z działu dowody algebraiczne