Zadanie 7, matura rozszerzona czerwiec 2017

3 pkt

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

5 x^{2} + y^{2} - 4 x y + 6 x + 9 \geq 0

Poprawna odpowiedź

Dowód

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Rozbijamy $5 x^{2}$ na $4 x^{2} + x^{2}$ i grupujemy wyrazy tak, żeby zobaczyć wzory skróconego mnożenia.
$4 x^{2} - 4 x y + y^{2} + x^{2} + 6 x + 9 \geq 0$
Pierwsze trzy wyrazy to kwadrat różnicy $2 x - y$ , a ostatnie trzy to kwadrat sumy $x + 3$ .
$(2 x - y)^{2} + (x + 3)^{2} \geq 0$
Lewa strona jest sumą dwóch kwadratów, czyli składników nieujemnych. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y$ , więc nierówność jest prawdziwa. To kończy dowód.

Podobne zadania z działu dowody algebraiczne