Zadanie 30 - Matura podstawowa 2021 (czerwiec) - Rozwiązanie

2 pkt

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych

a

b

c

takich, że

\frac{a + b}{2} > c

\frac{b + c}{2} > a

, prawdziwa jest nierówność

\frac{a + c}{2} < b

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Poprawna odpowiedź

Nierówność

\frac{a + c}{2} < b

jest prawdziwa, co należało wykazać.

Dodajemy stronami obie nierówności podane w założeniu:
$\frac{a + b}{2} + \frac{b + c}{2} > c + a$
Rozbijamy ułamki po lewej stronie na sumę i upraszczamy:
$\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} \frac{a}{2} + b + \frac{c}{2} > a + c > a + c$
Odejmujemy od obu stron nierówności $\frac{a}{2} + \frac{c}{2}$ :
$\frac{a}{2} + b + \frac{c}{2} - \frac{a}{2} - \frac{c}{2} b > a + c - \frac{a}{2} - \frac{c}{2} > \frac{a + c}{2}$
Otrzymana nierówność $b > \frac{a + c}{2}$ jest równoważna nierówności $\frac{a + c}{2} < b$ , którą należało wykazać.

Podobne zadania z działu dowodzenie