Zadanie 7, matura rozszerzona maj 2017

3 pkt

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych

x

y

prawdziwa jest nierówność

x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x y + 4 > 0

Poprawna odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa: dla

x \neq = y

jej lewą stronę można zapisać jako sumę liczby nieujemnej i liczby dodatniej (wzory skróconego mnożenia).

Czy Twoja odpowiedź jest poprawna?

Przekształcamy nierówność równoważnie. Wyraz $- 8 x y$ zapisujemy jako $- 4 x y - 4 x y$ i grupujemy składniki tak, żeby powstały wzory skróconego mnożenia.
$x^{2} y^{2} + 2 x^{2} + 2 y^{2} - 8 x y + 4 x^{2} y^{2} - 4 x y + 4 + 2 x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} (x y - 2)^{2} + 2 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) (x y - 2)^{2} + 2 (x - y)^{2} > 0 > 0 > 0 > 0$

Dalsze kroki są w Premium

Premium odblokowuje pełne rozwiązania krok po kroku wszystkich zadań.

Podobne zadania z działu dowody algebraiczne